Основні поняття лінійної алгебри
ОСНОВИ чисельні методи
Більшість прикладних обчислювальних задач, зокрема задач розрахунку будівельних конструкцій і споруд, будь-якому етапі зводиться до вирішення завдань лінійної алгебри. У цьому параграфі викладені основні початкові поняття з цієї області.
Лінійним простором називається безліч елементів будь-якої природи, якщо виконані наступні три вимоги:
I. Є правило, за допомогою якого будь-яким двом елементам і безлічі ставиться у відповідність третій елемент цієї множини, званий сумою елементів і і позначається символом.
II. Є правило, за допомогою якого будь-якого елементу безлічі і будь-якого речового числа ставиться у відповідність елемент цієї множини, званий твором Елементал число і позначається символом.
III. Зазначені два правила підпорядковані наступним восьми аксіом:
1) (переместительное властивість суми);
2) (сочетательное властивість суми);
3) існує нульовий елемент такої, що для будь-якого елемента (особлива роль нульового елемента);
4) для кожного елемента існує протилежний елемент такої, що;
5) для будь-якого елемента (особлива роль числового множника);
6) (сочетательное щодо числового множника властивість);
7) (розподільчий щодо суми числових множників властивість);
8) (розподільчий щодо суми елементів властивість).
Елементи довільного лінійного простору прийнято називати векторами.
У сформульованому визначенні лінійного простору числа,, ... бралися з безлічі дійсних чисел. Тому певний таким чином простір природно називати речовим лінійним простором. При більш широкому підході можна брати,, ... з безлічі комплексних чисел. В результаті матимемо поняття комплексного лінійного простору.
Евклідовому простором (речовим евклідовому простором) називається речовий лінійний простір, якщо виконані наступні дві вимоги:
I. Є правило, за допомогою якого будь-яким двом елементам цього простору і ставиться у відповідність дійсне число, зване скалярним твором цих елементів і позначається символом.
II. Зазначене правило підпорядковане наступних чотирьох аксіомам:
1) (переместительное властивість або симетрія);
2) (розподільна властивість);
3) для будь-якого дійсного;
4), якщо ненульовий елемент; , Якщо нульовий елемент.