У квантовій механіці
Лінійний гармонійний осцилятор - система, яка здійснює одновимірний рух під дією квазіпружної сили, - є моделлю, яка використовується в багатьох задачах класичної та квантової теорії (див. § 142). Пружинний, фізичний і математичний маятники - приклади класичних гармонійних осциляторів. Потенційна енергія гармонічного осцилятора (див. (141.5)) дорівнює
де w0 - власна частота коливань осцилятора, m- маса частинки. Залежність (222.1) має вигляд параболи (рис. 300), т. Е. «Потенційна яма» в даному випадку є параболічної.
Амплітуда малих коливань класичного осцилятора визначається його повною енергією Е (див. Рис. 16). У точках з координатами ± хmax повна енергія Еравна потенційної енергії. Тому з класичної точки зору частка не може вийти за межі області (-хmax. + Хmax). Такий вихід означав би, що її потенційна енергія більше повної, що абсурдно, так як призводить до висновку, що кінетична енергія негативна. Таким чином, класичний осцилятор знаходиться в «потенційній ямі» з координатами -
- хmax £ x £ хmax «без права виходу» з неї.
Гармонійний осцилятор у квантовій механіці - квантовий осцилятор - описується рівнянням Шредінгера (217.5), що враховує вираз (222.1) для потенційної енергії. Тоді стаціонарні стану квантового осцилятора визначаються рівнянням Шредінгера виду
де Е - повна енергія осцилятора. У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що рівняння (222.2) вирішується тільки при власних значеннях енергії
Формула (222.3) показує, що енергія квантового осцилятора може мати лише декретом значення, т. Е. Квантуется. Енергія обмежена знизу відмінним від нуля, як і для прямокутної «ями» з нескінченно високими «стінками» (див. § 220), мінімальним значенням енергії E0 = 1/2 # 8463; w0. Існування мінімальної енергії - вона називається енергією нульових коливань - є типовою для квантових систем і являє собою прямий наслідок співвідношення невизначеностей.
Наявність нульових коливань означає, що частка не може перебувати на дні «потенційної ями», причому цей висновок не залежить від її форми. Справді, «падіння на дно ями» пов'язано зі зверненням в нуль імпульсу частинки, а разом з тим і його невизначеності. Тоді невизначеність координати стає як завгодно великий, що суперечить, в свою чергу, перебуванню частки в «потенційній ямі».
Висновок про наявність енергії нульових коливань квантового осцилятора суперечить висновкам класичної теорії, згідно з якою найменша енергія, яку може мати осцилятор, дорівнює нулю (відповідає спочиває в положенні рівноваги частинки). Наприклад, класична фізика призводить до висновку, що при Т = 0енергія коливального руху атомів кристала повинна звертатися в нуль. Отже, має зникати і розсіювання світла, обумовлене коливаннями атомів. Однак експеримент показує, що інтенсивність розсіювання світла при зниженні температури не дорівнює нулю, а прагне до деякого граничного значення, що вказує на те, що при T®0 коливання атомів в кристалі не припиняються. Це є підтвердженням наявності нульових коливань.
З формули (222.3) також випливає, що рівні енергії лінійного гармонічного осцилятора розташовані на однаковій відстані один від одного (рис. 300), а саме відстань між сусідніми енергетичними рівнями одно # 8463; w0. причому мінімальне значення енергії E0 = 1/2 # 8463; w0.
Суворе рішення задачі про квантовий осцилляторе призводить до ще одного значного відмінності від класичного розгляду. Квантово-механічний розрахунок показує, що частку можна виявити за межами дозволеної області | х | <хmax (см. рис. 16), в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы области (- хmax, + хmax ). Таким образом, имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в той области, которая является классически запрещенной. Этот результат (без его вывода) демонстрируется на рис. 301, где приводится квантовая плотность вероятности w обнаружения осциллятора для состояния n = 1.
З малюнка слід, що для квантового осцилятора дійсно щільність ймовірності wімеет кінцеві значення за межами класично дозволеної області | x | ³ хmax т. Е. Є кінцева (але невелика) ймовірність виявити частинку в області за межами «потенційної ями». Існування відмінних від нуля значень wза межами «потенційної ями» пояснюється можливістю проходження мікрочастинок крізь потенційний бар'єр (див. § 221).
28.1. Вільна частинка рухається зі швидкістю u. Довести, що виконується співвідношення vфаз u = c 2.
28.2. Електрон рухається в атомі водню по першій боровськой орбіті. Беручи, що допускається невизначеність швидкості становить 1% від її числового значення, визначити невизначеність координати електрона. Стосовно чи в даному випадку для електрона поняття траєкторії? [D х = 33 нм; немає]
28.3. Y-Функція деякої частки має вигляд. де г - відстань цієї частинки від силового центру, а - постійна. Визначити середню відстань árñ частинки від силового центру. [árñ= P / 2]
28.4. Записати рівняння Шредінгера для стаціонарних станів електрона, що знаходиться в атомі водню.
28.5. Електрон знаходиться в одновимірної прямокутної «потенційній ямі» шириною l з нескінченно високими «стінками». Визначити ймовірність Wобнаруженія електрона в середній третині «ями», якщо електрон знаходиться в збудженому стані (n = 2) .Поясніть фізичний зміст отриманого результату, зобразивши графічно щільність ймовірності виявлення електрона в даному стані. [W = 0,195]
28.6. Прямокутний потенційний бар'єр має ширину 0,1 нм. Визначити в електрон-вольтах різниця енергій U - E, при якій ймовірність проходження електрона крізь бар'єр становитиме 0,99. [0,1 меВ]
Елементи сучасної фізики