Цей термін має також інші значення, див. Огляд (значення).
Ліпшицеве відображення (названо на честь Рудольфа Ліпшиця) - відображення f. X → Y між двома метричними просторами. застосування якого збільшує відстані не більше, ніж в деяку константу раз. А саме, відображення f метричного простору (X. ρ X))> в метричний простір (Y. ρ Y))> називається ліпшіцевим, якщо знайдеться деяка константа L (константа Ліпшиця цього відображення), така, що
при будь-яких x. y ∈ X. Ця умова називають умовою Ліпшиця.
- Відображення, яке задовольняє вищенаведені умові, називається також L -ліпшіцевим.
- 1-ліпшицеве відображення називають також коротким відображенням.
- Нижня межа чисел L. задовольняють вищенаведені нерівності, називається константою Ліпшиця відображення f.
- Відображення f. X → Y називається біліпшіцевим. якщо у нього існує зворотне f - 1. Y → X \ colon Y \ to X> і обидва f і f - 1> є ліпшіцевимі.
- Відображення f. X → Y називається коліпшіцевим. якщо існує константа L. така, що для будь-яких x ∈ X і y ∈ Y знайдеться x '∈ f - 1 (y) (y)> таке, що ρ Y (f (x). y) ⩽ L ⋅ ρ X (x. x') . (F (x), \; y) \ leqslant L \ cdot \ rho _ (x, \; x ').>
- Будь-яке відображення Ліпшиця рівномірно безперервно.
- Теорема Радемахера стверджує, що будь-яка ліпшіцева функція, певна на відкритій множині в евклідовому просторі, диференційована на ньому майже всюди.
- Суперпозиція ліпшіцевой і інтегрованої функції интегрируема.
Варіації і узагальнення
- Поняття ліпшіцевой функції природним чином узагальнюється на функції з обмеженим модулем безперервності. так як умова Ліпшиця записується так:
Відображення з властивістю
вперше розглядалося Ліпшиця в 1864 році для дійсних функцій в якості достатньої умови для збіжності ряду Фур'є до своєї функції. Згодом умовою Ліпшиця стало прийнято називати цю умову тільки при α = 1. а при α <1 — условием Гёльдера .