Третє елементарне засіб для придбання знань є
Тим часом як звук і форма призводять нас до ясним поняттям і розумової самостійності, але тільки призводять не прямо, а за допомогою багатьох засобів, арифметика є єдиний спосіб, який не містить в собі ніяких другорядних засобів, а є у всіх результатах свого впливу завжди лише простим наслідком основної здатності, за допомогою якої ми в змозі точно і абсолютно наочно зрозуміти ставлення «більше» і «менше», а також ясно і виразно уявити собі це відношення збільшення або зменшення до нескінченності.
Звук і форма дуже часто несуть в собі різні зародки помилки і обману. Число - ніколи; воно одне призводить до безперечних результатами; і якщо мистецтво вимірювати висловлює таке ж домагання, то може виправдати його тільки за допомогою математики і в з'єднанні з нею, т. е. воно тому безсумнівно, що воно вираховує.
Так як на той спосіб навчання, яким найімовірніше досягається мета навчання - ясні поняття, треба дивитися як на найважливіший, то ясно, що цей спосіб слід застосовувати всюди, з особливим старанням і мистецтвом, і що для досягнення головної мети викладання у вищій мірі важливо , щоб і цей спосіб отримав форму, що має в собі всі ті переваги, які можуть бути надані навчання глибоким знайомством з психологією і великим знанням непорушних законів фізичного механізму. Тому я особливо старався зробити математику в очах дитини самим ясним результатом цих законів і не тільки її основи довести в людському розумі до тієї простоти, в якій вони є в дійсності, в природі, а й подальше їх розвиток у всіх їх зміни привести в безперервний зв'язок з цією простотою первісної основи - в переконанні, що навіть крайні межі цього мистецтва тільки в тому випадку можуть бути засобами для істинного освіти, т. е. засобами для досягнення ясних понять і чистих поглядів, якщо розвиваються в людському розумі в тій же послідовності, в якій вони виходять від перших основ в самій природі.
Воно відбувається з простого складання і розкладання чисел. Його основна форма, як вже сказано, власне, наступна: один і один дорівнює двом, і один з двох залишається один. І кожне число, як завжди виявляється, є саме по собі не що інше, як засіб скорочувати цю істотну початкову форму всякого числення. Але важливо те, що знання основної форми числових відносин не ослабляеются в людському розумі цим засобом, що скорочують числення, а ретельно і глибоко закарбовується в ньому за допомогою тих форм, в яких це мистецтво викладається, і будь-який прогрес у цьому мистецтві грунтується на досягненні однієї мети, саме на отриманні глибоко западає в людський розум знання реальних відносин, що становлять сутність будь-якого числення. Якщо ж цього немає, то навіть найголовніше засіб отримати ясні поняття принижується до ступеня гри нашої пам'яті і уяви і так стає безсилим в досягненні своєї головної мети.
Інакше і бути не може; якщо, напимер, ми тільки напам'ять вчимо: 3 + 4 = 7 - і потім на цих 7 будемо грунтуватися, як ніби насправді знаємо, що 3 + 4 = 7, то ми будемо обманювати самих себе, тому що внутрішня правда цих семи не в нас, так як ми не знаємо матеріальної основи, яка одна тільки може зробити для нас істиною це пусте слово. Те ж саме буває у всіх відділах людського знання. І креслення, внаслідок того що ні примикає до вимірювання, з якого воно виникає, втрачає свою головну внутрішню правду, за допомогою якої воно тільки й може підійметься до ступеня кошти, що приводить нас до ясним поняттям. <…>