Логарифмічні рівняння - це таке рівняння, в якому невідома стоїть під знаком логарифма.
При вирішенні логарифмічних рівнянь часто доводиться логаріфміровать або потенціювати обидві частини рівняння, що не завжди може привести до рівносильним рівнянням.
Логаріфміровать вираження алгебри - значить висловити його логарифм через логарифми окремих чисел, що входять в цей вираз.
Завдання. Прологаріфміровать вираз
Рішення. У лівій і правій частині допишемо логарифм по підставі:
За властивостями логарифмів логарифм твори, що стоїть в правій частині, уявімо як суму логарифмів від кожного із співмножників, тобто:
Більше прикладів рішень
Якщо з даного результату логарифмирования знаходять вираз, від якого отримано цей результат, то така операція називається потенцированием.
Завдання. Пропотенціровать вираз
Рішення. Використовуючи властивості логарифмів, перетворимо праву частину цього виразу:
1. Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння, причому підставу логарифма, а подлогаріфміческое вираз.
Для будь-якого дійсного це рівняння має єдине рішення.
Завдання. Вирішити рівняння
Рішення. Спочатку знаходимо область допустимих значень (ОДЗ):, тоді єдине рішення рівняння
Більше прикладів рішень
2. Логарифмічні рівняння виду
Тут, - елементарна алгебраїчна функція, причому, щоб рівняння мало рішення, повинна виконуватись нерівність.
Заміною дане рівняння приводиться до найпростішого логарифмическому рівняння, рішення якого наведено в пункті 1.
Завдання. Вирішити рівняння
Заміна:, отримуємо рівняння, рішення якого
Роблячи зворотний заміну, отримуємо:
Більше прикладів рішень
Завдання. Знайти рішення рівняння
Заміна:. Роблячи зворотний заміну, приходимо до рівняння
Другий корінь не належить ОДЗ, а значить рішення
3. Логарифмічні рівняння виду
Тут - відмінне від одиниці позитивне число; і - елементарні алгебраїчні функції.
Рішення логарифмічних рівнянь такого типу зводиться до вирішення рівняння. Тому для вирішення даного типу рівнянь досить знайти всі рішення рівняння і серед отриманих вибрати ті, які відносяться до ОДЗ рівняння. Якщо рівняння рішень не має, то їх не має і вихідне логарифмічна рівняння.
Завдання. Вирішити рівняння
Рішення. Знаходимо ОДЗ:
Вирішуємо рівняння. ОДЗ.
Отже, рішенням вихідного логарифмічного рівняння також є це значення.
Більше прикладів рішень