Паранепротиворечивая логіка - це розділ сучасної некласичної логіки. в рамках якого логічний принцип, який не дозволяє виводити з логічного протиріччя (див. Логічне протиріччя) довільне пропозицію, не має місця. У класичній логіці (див. Логіка) деяка теорія називається суперечливою, коли в ній можна довести одночасно і пропозиція. і його заперечення. Якщо при цьому в теорії можна довести і довільне пропозицію, вона називається тривіальною. У стандартних системах логіки поняття суперечливості і тривіальності не розрізняються, тобто протиріччя в теорії веде до її тривіальності. Паранепротиворечивая логіка трактує протиріччя інакше, ніж класична логіка. У ній виключається можливість виводити з протиріч будь-які пропозиції, тим самим протиріччя перестає бути загрозою руйнування теорії. Однак цим не усувається принципова необхідність позбавлятися від протиріч в ході подальшого розвитку теорії. Звідси випливає ще одне визначення паранепротиворечивая логіки, дещо менш загальне, ніж попереднє: логіка називається паранепротиворечивая, якщо вона може бути покладена в основу суперечливих, але не тривіальних теорій. Паранепротиворечивая є також релевантна логіка (див. Логіка релевантна), в якій нове трактування протиріччя виявилася природним наслідком рішення іншої задачі - більш адекватною, ніж в класичній логіці, формалізації умовного висловлювання. Термін «паранепротиворечивая логіка» введений в 1976 році перуанським філософом Ф. Миро-Квісада.
Суворе визначення паранепротиворечивая логіки пов'язано з характеристикою відносини логічного слідування (див. Логічне слідування). Його можна назвати надмірним (explosive), якщо воно задовольняє умові, що для будь-яких формул A і B. з A і не-A слід довільна формула B (символічно: A. ¬A> ⊢ B). Класична логіка, интуиционистская логіка, багатозначні логіки (див. Логіки багатозначні) і більшість інших стандартних логік є надмірними. Логіка називається паранепротиворечивая логікою тоді і тільки тоді, коли її відношення логічного слідування не є надмірним.
Стимулом для появи паранепротиворечивая логіки послужила потреба в розробці суперечливих, але нетривіальних теорій. Теорія називається тривіальною, якщо безліч її теорем збігається з безліччю її формул; в іншому випадку теорія називається нетривіальною. Стандартні системи логіки не відокремлюють поняття суперечливості від поняття тривіальності, тобто протиріччя в теорії веде до її тривіальності. Звідси ще одне визначення паранепротиворечивая логіки дещо менш загальне, ніж попереднє: логіка називається паранепротиворечивая, якщо вона може бути покладена в основу суперечливих, але нетривіальних теорій. Саме таке визначення вперше в літературі дано польським логіком Ст. Яськовського (1948) і незалежно бразильським логіком Н. С. А. та Костою (1963). Іноді використовується ще один критерій паранепротиворечивая (критерій Яськовського) для логічних обчислень з правилом виведення modus ponens: в таких системах не повинен мати місця закон Дунса Скотта A ⊃ (¬A ⊃ B). Таким чином, паранепротиворечивая логіка дозволяє «локалізувати» дію протиріччя в тому сенсі, що наявність в теорії протиріччя не веде останню до руйнування, що в даному разі є реалізацією тези про неуніверсальності закону протиріччя (див. Закон суперечності).
Питання про те, суперечливий світ чи ні, є досить непростим, проте протягом всієї історії західної філософії знаходилися мислителі, які наполягали на позитивній відповіді, починаючи вже з досократиков, включаючи Геракліта. Найбільш значимою фігурою в цьому відношенні є Г. В. Ф. Гегель. Останнім часом все більшу увагу привертає онтологія А. Мейнонга (1908), де стверджується існування суперечливих об'єктів, і все частіше наводиться висловлювання Л. Вітгенштейна (1930), що настане час, коли почнуться математичні дослідження обчислень, що містять протиріччя, і люди будуть пишатися тим, що звільнилися від несуперечності. Визнання того, що існують справжні суперечності, тобто є твердження A такі, що разом A і ¬A істинні, отримало назву концепції «діалетізма» (dialetheism). Термін введений в 1981 році Г. Пристая і Р. Роутлі, і сама концепція останнім часом посилено розвивається Пристая.
Наявність суперечливих, але нетривіальних теорій і концепція діалетізма є філософською основою для вивчення паранепротиворечивая. Прикладами таких теорій є наївна теорія множин з парадоксом Б. Рассела, класична теорія істинності, що породжує семантичні парадокси типу «Брехун». Приклади суперечливих, але нетривіальних теорій можна знайти в історії науки: теорія руху Аристотеля, початкове обчислення нескінченно малих, теорія атома Н. Бора і інші. Цікаві приклади є в юриспруденції, зокрема різні біллі про права та тексти конституцій. Суперечливою є теологія (парадокс всемогутності). Також незаперечним фактом є те, що більшість людей, не усвідомлюючи цього, мають суперечливі переконання (вірування). Взагалі, мабуть, має вагомі підстави тезу, що будь-яка досить складна і цікава філософія буде суперечливою. Детально про філософське значення паранепротиворечивая і величезну літературу по цій темі можна знайти в фундаментальній праці «паранепротиворечивая логіка. Есе про суперечливість »(Paraconsistent logic: Essays on the inconsistent. - München, 1989). Концепція діалетізма вимагає застосування паранепротиворечивая логіки для міркування про суперечливу, але істинної теорії.
На можливість побудови логік без закону протиріччя вперше одночасно (1910) і незалежно один від одного вказали Н. А. Васильєв і Ян Лукасевич. Перший з них запропонував модифікувати аристотелевську сіллогістіку за рахунок нової форми: S є P і не-P; Лукасевич же піддав серйозній критиці все формулювання закону суперечності у Аристотеля. Згодом паранепротиворечивая логіка розроблялася в роботах Ст. Яськовського і Н. С. А. да Коста.
Існують різні способи спростування і обмеження принципу «з протиріччя слід все що завгодно». Звідси і велика різноманітність самих паранепротиворечивая логік, яких насправді нескінченно багато. Нижче перераховані чотири основні підходи в розвитку пропозіціональних паранепротиворечивая логік (предикатні їх варіанти є їх безпосереднім розширенням).
де v є функція оцінки формул на безлічі класичних істиннісних значень.
Тоді для аксіоматизації Cw потрібно до повної системі позитивної интуиционистской логіки з єдиним правилом виведення modus ponens додати наступні дві аксіомние схеми: A ∨ ¬ A і ¬ ¬ A ⊃ A. Додаючи інші істінностние умови, можна отримати ієрархію систем да Кости Cn (1 ≤ n ≤ w). Кожна логіка Cn має такі властивості:
- закон суперечності ¬ (A ¬A) не є тавтологією;
- з A і ¬A не можна в загальному випадку дедуціровать довільну формулу B;
- кожна Cn є бесконечнозначной логікою.
У свою чергу Д. Батенс (1980) бере позитивний фрагмент класичної пропозіціональной логіки і визначає заперечення умовою (I). Тоді аксіоматизація виходить за допомогою додавання до даного фрагменту тільки схеми аксіом A ∨ ¬ A. Слід зазначити, що конверсія умови (I) дає нам класичну логіку.
Основна проблема, очевидно, полягає у визначенні операції заперечення. Як да Коста (і його школа, особливо в наступних роботах), так і Батенс намагаються визначити заперечення максимально наближено до класичного, але в той же час, щоб воно було паранепротиворечивая. Справа в тому, що істинність A і ¬A ставить питання про те, чим насправді є паранепротиворечивая заперечення? Ця проблема активно обговорюється останнім часом, що ставить питання про філософський і логічному статус заперечення взагалі і більш того - про статус самої паранепротиворечивая логіки, оскільки для деяких з них (в певному вище сенсі) мають місце такі виводимості: A. ¬A> ⊢ ¬ B або A. ¬ ¬ A> ⊢ B.