Паранепротиворечивая логіка (грец. Παρά - біля, поза) - клас логічних обчислень, в яких логічний принцип «з протиріччя слід все, що завгодно», не має місця. Термін «паранепротиворечивая логіка» введений в 1976 перуанським філософом Ф.Міро-Квісада.
Суворе визначення паранепротиворечивая логіки пов'язано з характеристикою відносини логічного слідування (див. Дотримання логічне). Його можна назвати надмірне (explosive), якщо воно задовольняє умові, що для будь-яких формул A і B, з A і не-A слід довільна формула B (символічно: | - B). Класична логіка (див. Логіка висловлювань. Логіка предикатів), интуиционистская логіка. багатозначні логіки Лукасевича і більшість інших стандартних логік є надмірне. Логіка називається паранепротиворечивая логікою тоді і тільки тоді (т. Т. Т.), Коли її відношення логічного слідування не є надмірною.
Стимулом для появи паранепротиворечивая логіки була потреба в розробці суперечливих, але нетривіальних теорій. Теорія називається тривіальною, якщо безліч її теорем збігається з безліччю її формул; в іншому випадку теорія називається нетривіальною. Стандартні системи логіки не відокремлюють поняття суперечливості від поняття тривіальності, тобто протиріччя в теорії веде до її тривіальності. Звідси ще одне визначення паранепротиворечивая логіки дещо менш загальне, ніж попереднє: логіка називається паранепротиворечивая, якщо вона може бути покладена в основу суперечливих, але нетривіальних теорій. Саме таке визначення вперше в літературі дано польським логіком С.Яськовскім (1948) і незалежно бразильським логіком Н.С.А. да Костою (1963). Іноді використовується ще один критерій паранепротиворечивая (критерій Яськовського) для логічних обчислень з правилом виведення modus ponens: в таких системах не повинен мати місця закон Дунса Скотта A ⊃ (¬A ⊃ B). Т.ч. паранепротиворечивая логіка дозволяє «локалізувати» дію протиріччя в тому сенсі, що наявність в теорії протиріччя не веде останню до руйнування, що в даному разі є реалізацією тези про неуніверсальності несуперечливий закону.
Питання про те, суперечливий наш світ чи ні, є досить непростим, проте протягом всієї історії західної філософії знаходилися мислителі, які наполягали на позитивній відповіді, починаючи вже з досократиков, включаючи Геракліта. Звичайно, найбільш яскравою фігурою в цьому відношенні є Г. Гегель. Останнім часом все більшу увагу привертає онтологія А.Мейнонга (1908), де стверджується існування суперечливих об'єктів, і все частіше наводиться висловлювання Л. Вітгенштейна (1930), що настане час, коли почнуться математичні дослідження обчислень, що містять протиріччя, і люди будуть пишатися тим, що звільнилися від несуперечності. Визнання того, що існують справжні суперечності, тобто є твердження A такі, що разом A і ¬A істинні, отримало назву концепції «діалетізма» (dialetheism). Термін введений в 1981 Г.Прістом і Р.Роутлі, і сама концепція останнім часом посилено розвивається Пристая.
Наявність суперечливих, але нетривіальних теорій і концепція діалетізма є філософською основою для вивчення паранепротиворечивая. Прикладами таких теорій є наївна теорія множин з парадоксом Рассела, класична теорія істинності, що породжує семантичні парадокси типу «Брехун». Приклади суперечливих, але нетривіальних теорій можна знайти в історії науки: аристотелевская теорія руху, початкове обчислення нескінченно малих, теорія атома Бора і т.д. Цікаві приклади є в юриспруденції, зокрема різні біллі про права та тексти конституцій. Суперечливою є теологія (парадокс всемогутності). Також незаперечним фактом є те, що більшість людей, не усвідомлюючи цього, мають суперечливі переконання (вірування). Взагалі, мабуть, має вагомі підстави тезу, що будь-яка досить складна і цікава філософія буде суперечливою. Детально про філософське значення паранепротиворечивая і величезну літературу по цій темі можна знайти в фундаментальній праці «паранепротиворечивая логіка. Есе про суперечливість »(Paraconsistent logic: Essays on the inconsistent. Münch. 1989). Концепція діалетізма вимагає застосування паранепротиворечивая логіки для міркування про суперечливу, але істинної теорії.
На можливість побудови логік без закону несуперечливий вперше одночасно (1910) і незалежно один від одного вказали російський логік Н.А.Васільев і польський логік Ян Лукасевич. Перший з них запропонував модифікувати аристотелевську сіллогістіку за рахунок нової форми: S є P і не-P; Лукасевич же піддав серйозній критиці все формулювання закону несуперечливий у Аристотеля.
Існують різні способи спростування і обмеження принципу «з протиріччя слід все, що завгодно». Звідси і велика різноманітність самих паранепротиворечивая логік, яких насправді нескінченно багато. Ось, наприклад, чотири основні підходи до конструювання пропозіціональних паранепротиворечивая логік (предикатні їх варіанти є їх безпосереднім розширенням).
1. Діскуссівние (дискурсивні) паранепротиворечивая логіки. Діскуссівная логіка є історично першою. Її побудував С.Яськовскій (1948), позначивши за допомогою D2. Як випливає з назви, ця логіка призначена для виявлення логіки дискусії, в якій учасники можуть мати суперечливі думки. Яськовський визначає цю логіку за допомогою відповідної інтерпретації в модальної логіки Люїса S5 (див. Модальні логіки). Діскуссівная логіка є паранепротиворечивая, оскільки ми можемо підібрати таку інтерпретацію в S5, що ◊A і ◊¬A мають місце, але не ◊B. Для того щоб проходило правило modus ponens, Яськовський визначає діскуссівную інтерпретацію імплікації ⊃d. A ⊃d B = ◊А ⊃ B. Примітною особливістю такої логіки є те, що в ній немає місця правило введення кон'юнкції | - A B.Поетому часто такі логіки мають назви не-ад'юнктівнимі (non-adjunctive). Діскуссівним логікам присвячена велика література, і є різні узагальнення даного підходу. Більш того, в 1984 було показано, що діскуссівную логіку в дусі Яськовського можна побудувати у всякій нормальної модальної логіки.
2. Релевантні логіки. За своєю мотивації і розвитку релевантні логіки є одним з класів паранепротиворечивая логіки. Уже в силу критерію релевантності, сформульованого А.Белнапом в 1960, слід, що в релевантної пропозіціональной логіці доказова не кожна формула, головний знак якої - релевантна імплікація →, а антецедент суперечливий, тобто напр. недовідна формула (A ¬A) → B.Существуют різні семантичні підходи, що показують паранепротиворечивая релевантних логік. Найбільш відомою семантикою для релевантних є можливих світів семантика з тернарного ставленням, розвинена Р.Раутлі і Р.Мейером в 1973 р Кон'юнкція і диз'юнкція (див. Логічні зв'язки) для таких логік поводяться звичайним чином. Однак найбільш важливим з точки зору паранепротиворечивая логіки є розгляд заперечення. З кожним світом w асоціюється світ w *, так що w ** = w *. Істінностние умови для - A наступні: - A істинно в w т. Т. Т. Коли A помилково не в w, a в w *. T.о. якщо A істинно в w, але помилково в w *, (A ¬A) істинно в w. Ясно, що заперечення тут є інтенсіональні оператором. Тернарного відношення потрібно при визначенні істиннісних умов для релевантної імплікації. Однак уже є різні спрощення початкової тернарной семантики можливих світів, дані Г.Прістом, Р.Сілваном і Г.Ресталлом за допомогою поділу безлічі можливих світів на нормальні і ненормальні. Як і у випадку з модальними логіками, різні обмеження на відношення досяжності між світами дають різні релевантні, а отже, паранепротиворечивая логіки.
4. Не-істінностной-функціональний підхід. Опишемо клас паранепротиворечивая логік, який найбільш широко відомий і інтенсивно досліджується з часу їх появи. Основна ідея тут полягає в тому, що береться повний позитивний фрагмент интуиционистской або класичної логіки і не-істінностной-функціональним чином визначається заперечення. У 1963 Н. да Коста побудував нескінченну послідовність паранепротиворечивая логік, найменшою з яких є Cw. До позитивного фрагменту интуиционистской логіки додаються такі істінностние умови для заперечення:
(I) якщо v (A) = 0, то v (¬A) = 1
(II) якщо v (A) = 1, то v (¬¬A) = 1,
де v є функція оцінки формул на безлічі класичних істиннісних значень. Тоді для аксіоматизації Cw потрібно до повної системі позитивної интуиционистской логіки з єдиним правилом виведення modus ponens додати наступні дві аксіомние схеми: A ∨ ¬A і ¬¬A ⊃ A.Добавляя інші істінностние умови, можна отримати ієрархію систем да Кости Cn (1 ≼ n ≼ w). Кожна логіка Cn має такі властивості:
1) закон несуперечливий ¬ (A ¬A) не є тавтологією.
2) з A і ¬A не можна в загальному випадку дедуціровать довільну формулу B.
3) кожна Cn є бесконечнозначной логікою (див. Багатозначні логіки).
У свою чергу Д.Батенс (1980) бере позитивний фрагмент класичної пропозіціональной логіки і визначає заперечення умовою (i). Тоді аксіоматизація виходить за допомогою додавання до даного фрагменту тільки схеми аксіом Α ∨ ¬А. Зауважимо, що конверсія умови (i) дає нам класичну логіку.
Основна проблема, як бачимо, полягає у визначенні операції заперечення. Як да Коста (і його школа, особливо в наступних роботах), так і Батенс намагаються визначити заперечення максимально наближено до класичного, але в той же час, щоб воно було паранепротиворечивая. Справа в тому, що істинність A і ¬A ставить питання про те, чим насправді є паранепротиворечивая заперечення? Ця проблема активно обговорюється останнім часом, що ставить питання про філософський і логічному статус заперечення взагалі і більш того - про статус самої паранепротиворечивая логіки, оскільки для деяких з них (в певному вище сенсі) мають місце такі виводимості: | - ¬B або | - B.
1. Белнап Н. Як треба міркувати комп'ютера. - В кн. Белнап Н .. Стіл Т. Логіка питань і відповідей. М. 1981;
2. Ішмуратов А.Т .. Карпенка А.С .. Попов В.М. Про паранепротиворечивая логіці. - В кн. Синтаксичні та семантичні дослідження неекстенсіональних логік. М. 1989;
4. Arruda A.I. A survey of paraconsistent logic - Mathematical logic in Latin America. Dordrecht, 1980;
5. Batens D. Paraconsistent extensional prepositional logics. - «Logique et Analyse», 1980, v. 23;
6. da Costa N.C.A. On the theory of inconsisten formal system. - «Notre Dame Journal of Formal Logic», 1974, v. 15;
7. da Costa N.C.Α .. Marconi D. An overview of paraconsisten logic in the 80's. - «The Journal of Non-Classical Logic», 1989, v. 6;
9. Jaskowski S. Prepositional calculus for contradictory deductive systems. - «Studia Logica», 1969, v. 24;
10. Priest G. In contradiction: A study of the transconsistent. Dordrecht, 1987;
11. Rescher N .. Brandom R. The logic of inconsistency. Oxf. - Blackwell, 1980;