Урок цікавої математики.
6 клас.
Тема уроку: Магічні квадрати. (Слайд 1)
Мета уроку: розвиток евристичного мислення, комбінаторних міркувань для отримання магічних квадратів за допомогою міркувань.
Устаткування: презентація уроку, роздатковий матеріал для практичної роботи, калькулятори.
Висловлення: магічний квадрат відноситься до відомим протягом всієї історії цивілізації застосування математики, будучи гарним і загальновизнаним надбанням історії культури.
Хід уроку.
Вступ: тема нашого уроку "Магічні квадрати", сама назва підказує, що ми з вами сьогодні доторкніться до ніж магічним і незвичайним. Відкриємо для себе дивовижний світ математики, а допоможуть нам в цьому мої помічниці ...
Знайомство з історією виникнення магічних квадратів.
перша ведуча
Ми не знаємо країну в якій були придумані магічні квадрати, не знаємо століття (і навіть тисячоліття), в якому вони були вперше складені. Відомо тільки що вони з'явилися за довго до ери вульгаріс, і їх батьківщиною був Стародавній Схід. (Слайд 2)
Друга ведуча. Існує такий переказ, згідно з яким китайський імператор Ію, що жив чотири тисячі років тому, одного разу побачив на березі моря черепаху з візерунком з чорних і білих гуртків на панцир! (Слайд 3)
Імператор відразу зрозумів змив цього малюнка. Замінимо кожну фігуру числом, що показує, скільки в ній гуртків і отримаємо наступний квадрат (слайд 4)
перша ведуча
При додаванні чисел кожного рядка, кожного стовпчика, чисел по діагоналях вийде один і той же результат. Який? (Прораховується за варіантами або рядам) 15! Це число називають константою для даного магічного квадрата. (Слайд 5)
Символ зображений на малюнку (слайд 6) кінайци назвали "ло-шу" і вважали магіческім- він використовувався при заклинаннях. Тому квадратні таблиці чисел, що володіють такою властивістю, називають магічним квадратом.
друга провідна
Цей квадрат можна зустріти на палубазх великих пасажирських суден, майданчик для гри в палубний шаффлборд розмічена в вигляді магічного квадрата 3х3 (третього порядку). (Шаффлборд- гра в якій монети або диски ударом біти переміщають по розкресленій на дев'ять клітин майданчику). А ще в давнину були відомі так звані диявольські магічні квадрати. (Слайд 7)
Диявольський магічний квадрат- магічний квадрат, в якому з константою збігаються так само суми чисел по ламаним діагоналях в обох напрямках.
Ламаної діагоналлю називається діагональ, яка дійшовши до межі квадрата, триває паралельно першому відрізку від протилежного краю (на малюнку таку діагональ утворюють зафарбовані клітини).
перша ведуча
Існує всього три диявольських квадрата 4х4: (слайд 8-10)
Сучасні математики називають подібні квадрати "досконалими". Стало бути, "досконалий" і "диявольський" для сучасних математіков- синоніми!
(Знайдіть константу цих квадратів).
Але є ще один МК не менш цікавий, ніж диявольський (слайд 11). Видатний американський масон, вчений, громадський діяч дипломат Бенджамін Франклін склав квадрат 16х16 який крім наявності постійної суми 2056 у всіх рядках, стовпцях і діагоналях мав ще одне додаткове властивість. Якщо вирізати з аркуша паперу квадрат 4х4 і укласти цей лист на великий квадрат так, щоб 16 клітин більшого квадрата потрапили в цей проріз, то сума чисел, що з'явилися в цій прорізи, куди б ми її не поклали буде одна і та ж-2056. Цей квадрат є магічно-магічним з усіх МК, складених коли-небудь магом.
друга провідна
Магічні квадрати шанувалися не тільки в стародавньому Китаї. За часів середньовіччя в Європі властивості магічних квадратів теж вважалися магічними. Вони служили талісманами, захищаючи тих, хто їх носив, від різних бід.
Знаменитий магічний квадрат зображений на гравюрі німецького художника Альбрехта Дюрера "Меланхолія" (слайд 12). Цікаво, що в нижньому рядку цього магічного квадрата середні числа зображують рік створення гравюри- 1514. (слайд 13) Альбрехт Дюрер знав цей квадрат, а може бути, почавши саме з цих чисел зміг знайти інші методом підбору.
перша ведуча
Завдання: перевірте основні властивості магічного квадрата Дюрера, вважаючи суми по рядках, стовпцях і діагоналях (34). Досліджуйте інші властивості цього квадрата, вважаючи суми чисел центрального квадрата і кожного з кутових квадратів (34).
друга провідна
Як скласти такий квадрат? (Кадр 14-17)
Можна спробувати перебрати різні варіанти розстановки чисел від 1 до 9 в клітинах таблиці, але при цьому треба знати, що всього існує майже 400000 різних розстановок чисел в цьому квадраті.
Можна скласти такий квадрат за допомогою міркувань: сума чисел від 1 до 9 дорівнює 45.Всего 3 рядки.
У кожному рядку квадрата сума чисел повинна дорівнювати 45: 3 = 15
У кожному стовпці і на кожній діагоналі сума чисел повинна теж бути дорівнює 15.
Ось всі можливі уявлення числа 15 в вигляді суми трьох доданків від 1 до 9:
9 + 5 + 1 | 8 + 6 + 1 | 7 + 6 + 2 6 + 5 + 4
9 + 4 + 2 8 + 5 + 2 7 + 5 + 3
8 + 4 + 3
Число. стоїть в центрі таблиці, має зустрічатися в виписаних сумах 4 рази (стовпець, рядок і 2 діагоналі).
Число, що стоїть в кутку таблиці, має зустрічатися в сумах 3 рази (рядок, стовпець, діагональ)
Число, що стоїть на одному з останніх 4 місць, має зустрічатися в сумах 2 рази (рядок, стовпець)
Число 5 зустрічається 4 рази, значить, воно повинно стояти в центрі таблиці.
Число 2,4,6 і 8 зустрічаються в сумах тричі, вони повинні стояти в кутах таблиці, причому 2 і 8 на одній діагоналі (2 + 5 + 8 = 15), а 4 і 6 на інший.
Такий спосіб дає кілька різних магічних квадратів. Наприклад, число 8 можна розташувати в будь-якому з чотирьох кутів, що дат різні по виду квадрати.
II.Практіческая робота (роздати готові квадрати)
Візьміть квадрат 4 на 4 і впишіть в нього числа від 1 до 16 по порядку. Тепер поміняйте місцями числа, які стоять в протилежних кутках квадрата. А потім поміняйте числа, які стоять в протилежних кутках центрального квадрата.
Перевірте, у вас вийшов магічний квадрат. (Слайд 18, 19, 20)
Впишіть в порожні клітини квадрата такі числа, щоб квадрат став магічним (роздатковий матеріал, можна користуватися калькулятором)
Відновіть магічний квадрат.
перша ведуча
Ось ще одна варіація ідеї магічного квадрата, магічна площину четвертого порядку (слайд 21). Переміщаючи по ній контур 4х4, всередині нього ми завжди отримаємо магічний квадрат 4-го порядку.
Вам не подобається? Це не красиво?
А-а! Це марно! Ну, звичайно, з цього не можна робити гроші. Як шкода!
Шкода вас, якщо ви так вважаєте!
друга провідна
Застосування магічного квадрата (слайд 23)
Традиційною сфери застосування МК є талісмани. (Повний список планетних талісманів можна знайти в монографії А.Санарова "Магія талісманів. Практичний посібник"). Наприклад, талісман Місяця має певні властивості: оберігає від корабельної аварії і хвороби, робити людину люб'язним, сприяє запобігання поганого наміру, а так же зміцнює здоров'я. Його гравірують на сріблі в день і годину Місяця, коли сонце і Місяць знаходиться в перших десяти градусах Рака
II. Підбиття підсумків. Помічники вчителя оцінюють роботу кожного учня, виставляють оцінки. (Слайд 24).
Нагородження талісманами у вигляді магічних квадратів, виготовлених з фанери.