Привіт, друзі.
Розбір задач
У забігу шести спортсменів Андрій відстав від Бориса і ще від двох спортсменів. Віктор фінішував після Дмитра, але раніше Геннадія. Дмитро випередив Бориса, але все ж прийшов після Євгена. Яке місце зайняв кожен спортсмен? Андрій зайняв четверте місце, Борис був перед ним. Але Євген і Дмитро прийшли раніше Бориса, значить і раніше Андрія. Таким чином, першим прийшов Євген, другим Дмитро, третім - Борис. Геннадію і Віктору дісталися два останніх місця. Оскільки Віктор фінішував раніше Геннадія, Геннадій посів шосте місце, а Віктор - п'яте.
Маленький зелененький тіраннозаврік Рекс роздавав цукерки шести своїм знайомим стрекателькам (по-черзі). Кожній стрекательке він давав половину всіх наявних у нього цукерок і ще полконфети. Після того, як він обдарував останню, шосту, стрекательку, цукерки у нього закінчилися. Скільки цукерок у нього було спочатку? Цю задачу зручно вирішувати з кінця (згадайте задачу 1 з вступного тесту). Кожен раз тіраннозаврік зменшує кількість цукерок в два рази і від отриманої кількості забирає 1/2. Значить, при зворотному ході ми будемо додавати до кількості цукерок 1/2, а потім множити на 2. У самому кінці у Рекса залишилося 0 цукерок. Перед тим, як він обдарував шосту стрекательку, у нього залишалася (0 + 1/2) x 2 = 1 цукерка. Точно також отримуємо, що перед п'ятою стрекателькой у нього було (1 + 1/2) x 2 = 3 цукерки, перед четвертою - (3 + 1/2) x 2 = 7 цукерок, перед третьою - (7 + 1/2) x 2 = 15 цукерок, перед другою - (15 + 1/2) x 2 = 31 цукерка і, нарешті, на самому початку - (31 + 1/2) x 2 = 63 цукерки.
чергування
За круглим столом сидять хлопчики і дівчатка. Доведіть, що кількість пар сусідів різної статі парно. Якщо дивитися по колу, то пари хлопчик-дівчинка і дівчинка-хлопчик чергуються.
Чи може кінь пройти з поля a1 на поле h8, побувавши по дорозі на кожному з решти полів рівно по одному разу? Поля a1 і h8 одного кольору, тому кінь повинен зробити парне число ходів (як ми пам'ятаємо, кінь ходить з чорною клітини на білу, а з білої - на чорну). З іншого боку, для того, щоб побувати на всіх 62-х, а потім піти на h8, коню доведеться зробити 63 ходу. Число 63 - непарне, тому кінь цього зробити не зможе.
Чи може пряма, яка не містить вершин замкнутої 11-звенной ламаної, перетинати всі її ланки? Ні, такого не може бути. Будь-які дві сусідні вершини такої ламаної знаходяться по різні боки від прямої, тому вершини, що знаходяться з одного боку чергуються з вершинами, що знаходяться з іншого боку. Значить вершин має бути парне число. Але у 11-звенной ламаної 11 вершин (непарне число).
Розбиття на пари
Чи можна намалювати 9-звенную ламану, кожна ланка якої перетинається рівно з одним з інших ланок? Якби таке було можливо, то все ланки ламаної розбилися б на пари пересічних. Однак тоді число ланок має бути парним.
Равлик повзе по площині з постійною швидкістю, повертаючи на 90 градусів кожні 15 хвилин. Доведіть, що вона може повернутися у вихідну точку тільки через ціле число годин. Число ділянок шляху, які равлик проповзла вгору, дорівнює числу ділянок, які равлик проповзла вниз. Число ділянок, які равлик проповзла вправо дорівнює числу ділянок, які равлик проповзла вліво. Крім того, число вертикальних ділянок дорівнює числу горизонтальних ділянок (оскільки вони чергуються). Значить, равлик проповзла вправо, вгору, вліво і вниз однакове число ділянок. Загальна кількість ділянок ділиться на 4, значить шлях зайняв ціле число годин.
Всі кісточки доміно виклали в ланцюг за правилами. На одному кінці виявилося 5 очок. Скільки очок виявилося на іншому? Оскільки всередині ланцюга все числа зустрічаються парами, а загальна кількість половинок доміно з п'ятірками - вісім, то й на іншому кінці ланцюга стоїть п'ятірка.
нові завдання
Знову про парності
Як і на минулому занятті, основною ідеєю буде парність. Не забувайте, що для додавання і множення чисел виконуються наступні правила:- парне + парне = парне;
- парне-парне = парне;
- парне + непарне = парне;
- парне-непарне = парне;
- непарне + непарне = парне;
- непарне-непарне = парне;
- парне x будь = парне;
- непарне x непарне = непарне.
29. Чи можна розміняти 25 тугриків десятьма купюрами номіналом в 1, 3 і 5 тугриків?
30. 98 сірників розклали в 19 коробок і на кожному написали кількість сірників в цьому коробці. Чи може твір цих чисел бути непарним числом?
31. а) На столі лежить 21 монета решкою вгору. За одну операцію дозволяється перевернути будь-які 20 монет. Чи можна за кілька операцій домогтися, щоб всі монети лягли орлом вгору? б) Те ж питання, якщо монет 20, а дозволяється перевертати по 19.
32. У ряд виписані числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки "+" і "-" так, щоб в результаті вийшов 0?
33. Народна дружина складається з 100 чоловік. Кожен день вони чергують по троє. Чи може в певний момент опинитися, що кожен чергував з кожним рівно один раз?
34. Фігура на малюнку складена з квадратів. Знайдіть сторону лівого нижнього квадрата, якщо сторона самого маленького квадрата дорівнює 1.
36. На столі лежать чотири картки, на яких зверху написано: А, Б, 1, 2. (Про те, що написано на іншій стороні карток, нічого не відомо). Яку найменшу кількість карток і які саме треба перевернути, щоб дізнатися, чи правильно твердження: "Якщо на якійсь стороні картки написано парне число, то на іншій стороні - голосна буква"?