22 ПОКАЗНИКИ ВИБІРКИ
Заходи центральної тенденції (МЦТ)
Заходами центральної тенденції (МЦТ) називають чисельні показники типових властивостей емпіричних даних Ці показники дають відповіді на питання про те, наприклад, "який середній рівень інтелекту студентів педагогічного університету в?", "Яке типове значення показника відповідальності певної групи осіб?" Існує порівняно невелике кількість таких показників-мер і в першу чергу: -мір и в першу черга: мода, медіана, середнє арифметичне Кожна конкретна МЦТ має свої особливості, які роблять її цінним для характ ерістікі об'єкта дослідження в певних умовах
Модам - це значення, яке найчастіше зустрічається серед емпіричних даних Так, для ряду значень 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 мода дорівнює 3 (Мо = 3) Зверніть увагу частотою ( в прикладі це значення дорівнює 3), а не частота цього значення (у прикладі вона дорівнює 44).
При визначенні моди необхідно дотримуватися наступні операції:
o мода може бути відсутнім, наприклад, для даних 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5;
o якщо варіанти суміжні і мають однакову частоту, мода визначається як середнє значення сусідніх варіант Наприклад, для ряду 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5 мода Мо = (4 5) / 2 = 4,5;
o якщо варіанти несуміжні, може існувати кілька мод Так, для даних 2
2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5 характерна бімодальність є дві моди Мо1 = 3 і МО2 = 5;
o емпіричні дані можуть мати великі і малі моди Наприклад, дані 2, 2
3,3, 3, 4, 4, 4. 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6. 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9 мають одну велику моду Мо1 = 6 і дві малі моди МО2 = 3,5 і МО3 = 9
На графіках розподілу мода - це варіанти з максимальною частотою На рис 225 варіанти х6 = 5 має найбільшу частоту (0,33), тому і є модою Мо = 5 Медіана МСІ - це значення, яке припадає на середину впорядкованої послідовності емпіричних даних Для непарної кількості даних медіана визначає ється середнім елементом Мй = хх (п 1) / 2 Наприклад, для 11 значень 4, 4
4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 медіана дорівнює 4 (МСІ = 5), тобто:
Мй = х (п 1) / 2 = х (11 1) / 2 = х 6 = 5 -
Якщо кількість значень даних є парною, то медіаною є середнє значення центральних сусідніх елементів: Мй = Х "/ 2+ 2 х" / 2 1 Наприклад, для 12 значень 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7 медіана Мй = (5 6) / 2 = 5,5:
Середнє арифметичне X (вибіркове середню або середню) сукупності п значень дорівнює:
Використовують інші формули, наприклад, X = хі скорочено X = - ^ хі.
Так, для вибірки (2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8) середнє X дорівнює:
X = (2 2 3 3 4 5 6 7 7 8) / 10 = 47/10 = 4,7 Якщо дані представлені розподілами частот, середнє визначається як
де х - варіанти незгрупованіх частот або центральні значення класових інтервалів в разі згрупованих частот;
o мода вибірки обчислюється просто, її можна визначити "на око" Для дуже великих груп даних мода досить стабільною ступеня центру розподілу;
o медіана займає проміжне положення між модою і середнім з точки зору її підрахунку Цей захід особливо легко визначається при ранжовані даних;
o середнє арифметичне передбачає використання всіх значень вибірки, причому всі вони впливають на значення цього заходу
Розглянемо, що може статися з модою, медіаною і середнім, коли зміниться вдвічі тільки одне значення, наприклад, 10-го об'єкта вибірки (рис 228)
Рис 228 Властивості МЦТ
Як бачимо, мода і медіана залишилися незмінними, в той час як середнє змінилося значній мірі (з 4,8 до 5,7) На величину середнього особливо істотно впливають значення, які перебувають далеко від центр ру групи даних.
З точки зору помилок, що виникають через те, коли для характеристики цілої сукупності вибирається тільки одна єдина статистична міра (мода, медіана або середнє) кожна міра центральної тенденції має свою інтерпретацію
Мода є найбільш представницьким значенням або значенням, яке краще "замінює все значення", якщо ми змушені вибрати один
Медіана - це таке значення, для якого сума абсолютних різниць всіх значень менше суми різниць для будь-якого іншого значення Наприклад, для сукупності 1, 3, 6, 8, 9 медіана МСІ = 6 Абсолютні різниці складають: | 1-6 | = 5, | 3-6 | = 3, | 6 5 3 0 2 3 = 13 менше суми різниць за будь-якого іншого значення Наприклад, для 1 абсолютні різниці | 1-1 | = 0, | 3-1 | = 2, | 6-1 | = 5, | БНИ результатультаті.
Якщо вибрати медіану, то досягається мінімальне відхилення - за умови, що "відхилення" визначається як сума абсолютного відмінності кожного значення від медіанної оцінки Якщо ж замість кожного значення я беретсяя береться середнє забезпечується мінімальне відхилення - за умови, що "відхилення" визначається як сума квадратів різниць кожного значення з середнім
Використання заходів центральної тенденції в якості характеристик випадкової вибірки є умовою необхідною, але недостатньою Показники описової статистики, крім МЦТ, включають ще одну групу показників - мер ри мінливості (ММ).
Увага даний підручник має низьку якість розпізнавання