3.2.3 Матриця контурів
Матриця контурів С - це таблиця коефіцієнтів рівнянь, складених за другим законом Кірхгофа (ЗКН). Рядки матриці С відповідають контурам, стовпці - гілкам.
Елементи сij матриці С = [сij] визначаються наступним чином:
сij = 1, якщо гілка j міститься в контурі i і напрямок гілки збігається з напрямком обходу контуру;
сij = -1, якщо гілка j міститься в контурі i і напрямок гілки протилежно напрямку обходу контуру;
сij = 0, якщо гілка j не міститься в контурі i.
Матрицю С, записану для головних контурів, називають матрицею головних контурів. При цьому за напрямок обходу контура приймають напрямок галузі зв'язку цього контуру.
Другий закон Кірхгофа для напруг в матричної формі записують наступним чином (ЗКН):
Токи всіх узагальнених гілок можуть бути виражені як лінійні комбінації струмів узагальнених гілок зв'язку (контурних струмів)
де IК - стовпова матриця контурних струмів.
Якщо гілкам дерева присвоєні перші номери, то матриця головних контурів складається з двох підматриць:
де F - подматріца матриці перетинів C, складена на підставі того ж самого дерева;
1 - одинична подматріца порядку k = р-q + l.
Таким чином, в матричної формі можуть бути записані:
- перший закон Кірхгофа (ЗКТ):
- другий закон Кірхгофа (ЗКН):
3.3 Повна система рівнянь електричних ланцюгів
Закони Кірхгофа стосовно графу схеми або електричного кола характеризують систему в цілому без урахування характеристик її елементів. матричні рівняння
Ai = -A # 193; (Або Di = -D # 193;) і Cu = Ce (3.10)
визначають систему з р окремих рівнянь. Така система є недостатньою для опису процесів в електричних ланцюгах, так як не відомі р струмів і р напружень.
Щоб доповнити систему рівнянь, необхідно визначити (або задати) ще р рівнянь. Ці рівняння повинні відображати властивості елементів системи - гілок електричного кола. Очевидно, що такі зв'язки повинні бути записані для р гілок ланцюга. У матричної формі запишемо ці рівняння у вигляді
Залежно від характеру функцій fk і jk (k = 1 ... р) системи рівнянь електричних ланцюгів можуть бути лінійними - для лінійних електричних ланцюгів, тобто для ланцюгів, у яких r, L, С і М не залежать від значень і напрямів струмів і напруг в ланцюзі, і нелінійними - для нелінійних електричних ланцюгів, тобто для ланцюгів, у яких r, L, С або М хоча б однієї з ділянок залежать від значень або від напрямків струмів і напруг в цій ділянці ланцюга.
Кожна гілка лінійної ланцюга може містити опір, індуктивність, ємність, ідеальне джерело ЕРС і ідеальне джерело струму (рис. 3.9).
Струм в опорі гілки і падіння напруги гілки U пов'язані законом Ома.
де опір гілки. Ці співвідношення для всіх гілок можна записати в матричній формі:
де Z - діагональна матриця опорів гілок;
U, I, J, E - відповідно вектори напруг і струмів гілок, струмів джерел струму і ЕРС гілок.
Це матрична форма закону Ома.
Зауваження: Матриця Z діагональна лише в разі, коли струм k-ой гілки створює напругу на опорі Z, k-ой гілки. У ланцюгах із взаємною індукцією Z має елементи поза головною діагоналі Zij = Zji = ± sMij.
М-опору індуктивного зв'язку i-ой і j-ой гілок. Вони позитивні (негативні), якщо орієнтація i-ой і j-ой гілок по відношенню однойменних затискачів однакова (протилежна).
Рівняння закону Ома можна уявити в іншій формі:
де Y = Z - 1 - матриця провідностей, зворотна матриці опорів гілок.
Якщо в функції fk і jk входять похідні струмів і напруг, то процеси в цій лінійної або нелінійної електричного кола будуть характеризуватися системою, відповідно, лінійних або нелінійних диференціальних рівнянь. При відсутності похідних у функціях fk і jk процеси в цій лінійної або нелінійної електричного кола будуть характеризуватися системою, відповідно, лінійних або нелінійних алгебраїчних рівнянь.
Система з 2 р рівнянь, що включає в себе рівняння, записані відповідно до законів Кірхгофа, і рівняння, що характеризують зв'язку між струмами і напругами елементів електричного кола, і є повна система рівнянь електричного кола, або повна математична модель цього ланцюга.
Інформація про роботу «Моделювання електричних ланцюгів в системі Mathcad»