Мажорантності функції мають наступну чудову властивість. [1]
Такі мажорантності функції вельми часто будуть нами застосовуватися в подальшому. [2]
Ми застосуємо тепер мажорантності функції для доказу збіжності рядів, що представляють інтеграли диференціального рівняння. [3]
Побудуємо для цих рядів відповідну мажорантності функцію. [4]
Якщо праві частини рівнянь є функції якого-небудь приватного виду, то і мажорантності функції можна взяти також більш спеціального типу. Ця обставина дозволяє іноді розширити область, в якій інтеграли, що визначаються за теоремою Коші, будуть за-т відомо голоморфних. Чудова нагода такого розширення являє випадок лінійних рівнянь. Тут ми розглянемо лише випадок двох лінійних рівнянь першого порядку; однак, слід зауважити, що результати, які ми при цьому одержимо, можна поширити на випадок будь-якого числа лінійних рівнянь. [5]
Для оцінки області збіжності F і, отже, / представляє інтерес побудова для даної функції найбільш простих мажорантності функцій. [6]
Звідси випливає, що функції W, і Wz голоморфних в колі Clt а відповідно до загальних висновків теорії мажорантності функцій і і і w2 також голоморфних в колі C-L. Але коло С1 можна взяти як завгодно близько до кола С, а тому остаточно маємо наступний важливий результат. [7]
Залишається довести збіжність отриманих рядів. Для цього ми вводимо мажорантності функції особливого виду. [8]
Оцінити рішення неоднорідного рівняння (8), користуючись тільки результатами § 2, неможливо. Однак можна легко побудувати мажорантності функцію для вирішення завдання (8) і застосувати потім теорему порівняння. [9]
Сторінки: 1