Визначення 6.2.6. Функціональний ряд називається мажоріруемим на даній множині Д (на якому визначені функції. Де), якщо існує такий числовий сходиться ряд з додатними членами, що члени ряду (хоча б починаючи з деякого) при всіх не перевищують по модулю відповідних членів ряду. т. е.
(При цьому ряд називається мажорірующім або мажорантності поруч для функціонального ряду).
Інша определеніе6.2.7.Функціональний ряд (1) називається мажоріруемим на даній множині Д (на якому визначені функції. Де), якщо існує такий сходиться числовий ряд (2) з позитивними членами, що для всіх виконуються співвідношення
,()
Рівномірна збіжність функціонального ряду
Серед сходяться функціональних рядів виділяються своєю важливістю так звані рівномірно сходяться ряди.
Визначення 6.2.8. Ряд (1) називається рівномірно збіжним на безлічі Д. якщо для будь-якого можна вказати таке число. що при всіх буде виконуватися нерівність: для всіх (або).
- n-я часткова сума ряду (1)
S (x) - сума ряду (1)
Розглянемо наступний ознака, достатній для рівномірної збіжності функціонального ряду.
Теорема (ознака Вейєрштрасса) 6.2.15. Якщо функціональний ряд (1) мажорірует на даній безлічі Д. то він: 1) рівномірно і 2) абсолютно сходиться на цій множині.
Приклад 6.2.26.Доказать, що ряд сходиться рівномірно на всій осі ОХ.
Т. к. Для "маємо. То (). Ряд сходиться. За ознакою Вейєрштрасса даний ряд сходиться рівномірно на всій осі.
Зауваження 6.2.8.Прізнак Вейерштрасса дає тільки достатня умова рівномірної збіжності функціонального ряду, воно не є необхідним.
Зауваження 6.2.9. Рівномірно сходиться в деякому проміжку ряд не обов'язково збігається там і абсолютно.
Одним з важливих класів функціональних рядів є статечні ряди.
Визначення 6.2.9.Функціональние ряди, членами яких є цілі позитивні ступеня незалежної змінної х або двочлена (х-х0), (де х0 = const), помножені на числові коефіцієнти:
(2) називаються статечними рядами.
Члени статечних рядів є: 1) безперервними і 2) диференційовними функціями на всій числовій осі.
Ряд (1) виходить з ряду (2) при х0 = 0.
Усі наступні міркування будемо проводити для ряду (1). оскільки ряд (2) приводиться до ряду (1) за допомогою заміни змінної х-х0 = Х.
Зауваження 6.2.10. Для зручності n-м членом статечного ряду називають член. незважаючи на те, що він стоїть на (n + 1) -м місці. Вільний член ряду a0 вважають нульовим членом.
Логічно можуть представитися 3 можливості:
1) ряд (1) сходиться на звий числовій осі;
2) ряд сходиться тільки в т. Х = 0 (в т. Х = 0 сходиться всякий статечної ряд (1),
3) ряд сходиться не тільки в точці х = 0, але і не на всій числовій осі.