Механіка древніх і Архімед
Цей огляд ми починаємо з механіки. На першому місці серед творців механіки варто Архімед, ім'я якого увійшло в історію фізики навіки. Архімед народився в 287 р. До н.е. е. в Сицилії, в місті Сіракузах. Він був сином астронома Фідія і родичем Герона, що став потім тираном Сіракуз. Ймовірно, батько дав йому достатню математичну освіту: Архімед добре знав вийшли незадовго до його народження "Почала" Евкліда. Подальшу освіту і науковий розвиток Архімед отримав в Олександрії. Тут він займається астрономією, математикою і механікою. Але вже в олександрійський період виразно виявилися наукові інтереси Архімеда, а саме - проблеми механіки. Навіть в своїх астрономічних заняттях Архімед прославився винаходом механічних апаратів. Такий був прилад для вимірювання видимого діаметра Сонця і знаменита "сфера", т. Е. Планетарій, очевидно, що приводився в рух водяним двигуном. Тут же був винайдений їм водопідйомник і тут же він, ймовірно, прийшов до своїх знаменитих досліджень про центри тяжіння і важелях, в тісному зв'язку з якими знаходилися і його математичні роботи.
Після повернення з Олександрії вся інша діяльність Архімеда протікала в рідному місті, аж до самої загибелі, що збіглася з падінням Сіракуз. Самовіддана робота Архімеда при захисті міста була предметом особливого подиву древніх. Наведемо розповідь римського історика Плутарха з біографії полководця Марцелла, що відноситься до облоги Сіракуз цим полководцем.
"Марцелл наближався і по суші, і морем. На суші військо йшло під командою Аппія, а сам Марцелл плив на чолі шістдесяти галер про п'ять рядах весел, забезпечених всякого роду метальними снарядами і зброєю. Вісім судів, з'єднаних разом, складали рід великого помосту, на якому височіла стінобитних машина. Так плив він до міста, довіряючи громадности і могутності приготувань і своєї репутації. все це не збентежило, однак, Архімеда. Що все це означало в порівнянні з його машинами? "
У цьому місці Плутарх робить відступ, яскраво характеризує умонастрої древніх і ілюструє зроблені вище зауваження про характер науки рабовласницького суспільства:
"Не повинно думати, втім, щоб сам він надавав їм велику ціну. Для нього це були здебільшого як би іграшки геометрії. Він виконав їх, поступаючись почесним наполяганням царя Гієрона. Гиерон переконував Архімеда перенести на час душевну міць свою від розумових речей до тілесних і дати юрбі можливість відчути силу його міркувань, з'єднавши їх з практичними, корисними застосуваннями. Механіка, предмет шукання і прославлення, є винахід Евдокса і Архита. Вони хотіли деяким чином ілюструвати геометрію (дати геометрії зовнішню прилі асу) і заснувати на чуттєвих і матеріальних прикладах теореми, які важко вирішити допомогою міркувань і наукових доказів. Так, для теореми про двох середніх пропорційних, для вирішення якої мало одних міркувань і яка, однак, необхідна по відношенню до багатьох фігур, вони вдалися до механічних засобів і склали рід мезолябіі за допомогою кривих ліній і конічних перетинів. Але скоро Платон в обуренні став докоряти їм, що вони псують геометрію, позбавляють її гідності, звертають в раба-втікача, змушуючи її від вивчення безтілесних і розумових речей переходити до чуттєвих предметів і вдаватися, крім міркування, до допомоги тел, рабськи виготовлених роботою руки. Так принижена механіка була відокремлена від геометрії. Вона стала одним з військових мистецтв ".
Ось як дивилися стародавні на практику і досвід! Торкаючись спеціально Архімеда, Плутарх говорить:
"Побудова машин і все мистецтво, спрямоване на задоволення життєвих потреб, були в його очах чимось неблагородним, нізкоремесленним. Він вважав своє честолюбство у вивченні предметів, до краси і досконалості яких не домішується ніщо, що має відношення до життєвих потреб; в науках, де доказ і предмети змагаються в перевагах: предмет доставляє велич і красу, докази - точність і міць, що виробляють чудеса ".
Повернемося тепер до барвистого опису облоги Сіракуз римлянами.
"При подвійний атаці римлян сіракузці оніміли, уражені жахом. Що вони могли протиставити таким силам, такою могутньою раті? Архімед пустив в хід свої машини. Сухопутна армія була вражена градом метальних снарядів і величезних каменів, що кидаються з великою швидкістю. Ніщо не могло протистояти їх удару, вони все скидали перед собою і вносили сум'яття в ряди. Що стосується флоту - то раптом з висоти стін колоди опускалися, внаслідок своєї ваги і доданої швидкості, на судна і топили їх. те залізні кігті і дзьоби захоплювали суду, піднімали їх на повітря носом догори, кормою вниз, і потім занурювали в воду. А то суду наводилися в обертання і, кружляючи, потрапляли на підводні камені і кручі біля підніжжя стін. Велика частина знаходилися на суднах гинула під ударом. Будь-яку хвилину бачили якесь судно піднятим в повітрі над морем. Страшне видовище! судно повертається з боку в бік, люди валяться, як би пускаємо з пращі. спустошеність судно або розбивається об стіни, або занурюється в море, будучи випущено машиною.
Марцелл присунув на великому помості машину, яка звалася самбук, за подібністю з музичним інструментом цього імені. Коли вона наближалася до стіни і була ще досить далеко, Архімед пустив в неї камінь вагою в десять талантів *. потім другий, третій. Камені, як бурею несомих, потрапляли в машину, вдарялися в поміст і розбивали його. Марцелл, не знаючи, що робити, поспішив відвести флот і дав наказ війську на суші відступити. Був зібраний рада; порішили, якщо буде можна, вночі підійти під самі стіни. Машини Архімеда з їх величезною силою будуть - думали - кидати снаряди так, що вони пролетять над головами нападників, не потрапляючи в них. Але Архімед давно заготовив пристосування на цей випадок. Він розташував і такі машини, яких дія пов'язана було з відстанню і які майже без перерви викидали короткі списи. У стінах зроблені були багато дірок, через які діяли на близькій відстані скорпіони, невидимі ворогом.
Досягнувши стін, римляни уявляли себе в безпеці, але вони були під ударами. Камені падали на них зверху, стіни - звідусіль пускали в них списи. Вони було віддалилися, але машини слали нові метальні снаряди і вражали відступаючих. Багато загинуло, суду стикалися між собою, і в облогу заподіяти будь-якої шкоди було не можна. Велика частина машин Архімеда була за стінами. Невидима рука кидала тисячі зол в римлян; вони боролися з богами. Сам Марцелл вислизнув від небезпеки. Підсміюючись над своїми інженерами, він говорив: "Не перестати нам воювати з цим геометром бріара *. Який приймає кораблі наші за ковші для черпання води, розбиває самбук і перевершує сторуких міфологічних велетнів, кидаючи стільки копій за раз". Дійсно, населення Сіракуз було тілом, а Архімед - душею, яка проводила всі машини в рух. Всі інші знаряддя демонстрували бездіяльність; тільки його вживалися і для нападу, і для захисту. Під кінець страх римлян став такий великий, що як тільки побачать кінець мотузки, колода над стінами, тікають, кричачи: "ще машина Архімеда проти нас!"
* (Бріара - міфічний сторукий титан.)
Бачачи це, Марцелл відмовився від будь-якого нападу і результат облоги вирішив надати часу ".
"Такий був Архімед, - підсумовує свою розповідь Плутарх, - так зберіг він, наскільки від нього залежало, непереможним і себе, і своє місто".
При взятті Сіракуз (212 р. До н.е. е.) Архімед був убитий римськими солдатами.
Звичайно, в оповіданні Плутарха міститься багато перебільшень. Але безсумнівно одне, в цьому оповіданні відбилося схиляння римлян перед блискучим інженерним мистецтвом Архімеда. Стародавні ще більш боялися перед високим математичним хистом Архімеда. Той же Плутарх відзначає:
"У геометрії немає інших таких пропозицій, які в такій мірі, як архимедови, з'єднували б великі труднощі з простотою і ясністю рішень".
Дійсно, математичний геціт Архімеда проявився особливо чітко в тому, що він взявся за вирішення найважчих проблем свого часу: обчислення площ криволінійних фігур, обчислення поверхонь і обсягів циліндра і кулі. Ці проблеми призводять його (в творі "Ефодікон", відкритому в 1906 р) до встановлення основних понять інтегрування. Архімед був першим із стародавніх, що встановив межі для π (він знайшов, що π укладено між 3 1/7 і 3 10/11). Свій математичний геній Архімед виявив і в рішенні механічних завдань. Його основні досягнення: закон важеля і закон Архімеда отримані геометричним методом. Ми можемо з повним правом назвати Архімеда родоначальником математичної фізики. Розглянемо тут результати Архімеда в області статики. Статика Архімеда викладена в трактатах: "Про рівновагу площин" і "Про плаваючих тілах". Закон важеля міститься в першому трактаті. Центральною ідеєю трактату є поняття центра ваги. Емпіричні дані про рівновагу важкого тіла були відомі давно. Ще єгиптяни вживали схил. Але тільки у Архімеда ми знаходимо чітке уявлення про таку точці всередині тіла, щодо якої врівноважуються ваги всіх інших точок його, так що тіло, обпертих в цій точці, буде в рівновазі. Початкові емпіричні відомості одягаються у Архімеда в форму аксіом-постулатів. Ось основні з цих аксіом:
- Рівні ваги, діючи на рівних відстанях від точки опор невагомого стержня, врівноважуються (рис. 20 А).
Виходячи з цих постулатів, Архімед доводить закон важеля наступним чином. Нехай вантажі А і В (рис. 21) сумірні між собою і відносяться, як цілі числа:
Нехай, наприклад, m = 5, n = 3. Ділимо вантаж А на 2m = 10 рівних частин, вантаж В на 2n = 6 рівних частин і розподілимо їх рівномірно уздовж невагомого стержня довжиною 2 (m + n) одиниць з точкою опори Р посередині (рис. 22). За постулату 1 вантажі будуть в рівновазі. Рівновага не порушиться, якщо 2m вантажів з'єднати в один А, прикладений в їх центрі тяжкості а. Але а відстоїть від Р на відстані Ра = n одиниць, а b відстоїть від Р на відстані Рb = m одиниць. Таким чином, врівноважені вантажі А і В задовольняють умові:
Це і є закон важеля. Архімед надалі поширює його і на випадок несумірних вантажів. Його доказ неодноразово піддавалося дискусії і подальшим розширенням.
Звернемося тепер до іншого результату Архімеда, до його знаменитому закону. Добре відомий розповідь Вітрувія про обставини відкриття цього закону.
Вигук Архімеда, який відкрив закон у ванні: "Еврика!" (Знайшов), стало ходячим виразом. Вітрувій розповідає, що Архімед досвідом перевірив своє відкриття. Звичайно, не підлягає сумніву, що досвід наштовхнув Архімеда на ідею, і досвід дав йому можливість її перевірити. Більш того, Архімед безсумнівно вмів на досвіді визначати питомі ваги; згадують навіть про поплавці, 4с допомогою якого порівнюють питомі ваги рідин (ареометр). Але, вірний своєму методу, Архімед прагне довести закон математично, виходячи з деяких постулатів. В основу Архімед кладе таку гіпотезу про природу рідини:
"Передбачається, що рідина по природі своїй така, ч-го при рівномірному і безперервному розташуванні її частинок менш здавлена частка витісняється більш здавленої, і що окремі частинки цієї рідини відчувають тиск прямовисно розташованої над ними рідини, оскільки ця рідина не замкнута в чому-небудь або не відчуває тиску з боку будь-якого іншого предмета "*.
* (Цитати взяті з книги "Начала Паскаля" - Архімед, Стевін, Галілей Паскаль, Госуд. Техніко-теор. Видавництво.)
Виходячи з цієї гіпотези, Архімед показує, що поверхня спочиває рідини повинна бути сферою, центр якої збігається з цент ром Землі. Справді, якби цього не було, то не могло б бути рівноваги: одні частини рідини були б здавлені більше, ніж інші, що згідно постулату призвело б до переміщення менш здавлених частинок.
Ця теорема у Архімеда відіграє основну роль. Звідси він доводить насамперед, що тіла однакового питомої ваги з рідиною ( "мають при рівному обсязі і рівний з рідиною вага") занурюються в рідину настільки, що абсолютно не виступають над її поверхнею, але і не опускаються в ній скільки-небудь глибше. * Розглянемо половину "гідросфери" (так для стислості будемо називати масу рідини, що заповнює об'єм земної кулі), обмежену поверхнею ALMD (рис. 23), і виділимо в ній дві конічні рівні частини KML і КМР. З цих конічних частин виділимо області, обмежені поверхнями: зовнішніми MQ і МIS і внутрішніми ХО і ОР. Нехай тіло EZTH не розчиняється сповна в рідину, а частина EBGZ виетупает над поверхнею. Розглянемо в суміжній області частина RYGS, рівну зануреної частини тіла BGTH. Очевидно, що частини рідини, що лежать на дузі ХО, будуть більш здавлені, ніж частини, що лежать на дузі ОР. Рівноваги, згідно основному постулату, не буде. Тому тіло зануриться якраз настільки, що його поверхня співпаде з поверхнею гідросфери.
За допомогою тієї ж гідросфери Архімед доводить, що тіло меншої питомої ваги, ніж вода, спливає так, що деяка частина буде виступати над поверхнею рідини. Справді, якщо тіло Z (рис. 24) занурене в області гідросфери ABXQ, то, виділивши в суміжній області частина рідини H, відповідну Z, знаходимо, що частини рідини, що лежать на дузі QX, будуть менше здавлені, ніж частини на дузі QP, що призведе до порушення рівноваги. Рівновага відновиться тоді, коли тіло спливе настільки, що брак в вазі в зануреної частини тіла буде компенсований вагою виступаючої частини, так що вага рідини в об'ємі зануреної частини дорівнює вазі всього тіла.
Далі, Архімед в наступних двох пропозиціях стверджує свій закон:
"Пропозиція VI. Тверді тіла, які легше рідини, будучи занурені в рідину, прагнуть догори з силою, рівною перевищення ваги рідини, взятої в обсязі цих тіл, над вагою самих тел.
Пропозиція VII. Тіла, які важче рідини, будучи опущені в рідину, занурюються все глибше ,, поки не досягають дна, і, перебуваючи в рідині, втрачають в своїй вазі стільки, скільки важить рідина, узята в обсязі цих тіл ".
Пропозиція VI доводиться так. Нехай В - вага тіла А (рис. 25)? B + G - вага рідини в об'ємі, рівному обсягу тіла А. Приєднаємо до А тіло D, вага якого дорівнює G. Сума цих тіл буде легше рідини, взятої в обсязі A + D. Тому, за попереднім, тіло A + D буде спливати до тих пір, поки вага виступаючої частини не компенсує недолік у вазі зануреної частини. Очевидно, рівновагу настане тоді, коли зануреною частиною буде А, а виступає D. А це і доводить пропозицію.
Пропозиція VII доводиться на основі попереднього. Нехай вага тіла А дорівнює B + G (рис. 26, 27), а вага рідини в об'ємі А дорівнює В. Нехай D - тіло легше рідини і нехай вага його В, а вага рідини в об'ємі D дорівнює B + G. З'єднаємо тіла А та D разом. Тоді комбінація обох тел залишиться в рідини в рівновазі, не заглиблюючись, не піднімаючись. Справді, обсяг тел дорівнює A + D. а вага їх (B + G) + B. Але такий же вага рідини в об'ємі A + D. Але тіло D, за попереднім, прагне вгору з силою, рівною G. Таким чином , втрата ваги тіла А в рідини дорівнює в (тіло падає вниз з тієї ж силою G, з якою його тягне вгору D). Але У це і є вага рідини в об'ємі тіла.
* (Виняток становлять дослідження Паппа про центр тяжкості.)
Як побачимо в своєму місці, Галілею довелося відновлювати в правах Архімеда в суперечках з схоластом.