Метод зворотного перетворення

Строго зростаюча функція розподілу

  • Нехай U 1. .... U n ~ U [0. 1], \ ldots, U_ \ sim U [0,1]> - вибірка з стандартного безперервного рівномірного розподілу.
  • Тоді X 1. .... X n, \ ldots, X_>. де X i = F - 1 (U i). i = 1. .... n = F ^ (U _), \; i = 1, \ ldots, n>. - вибірка з цікавить нас розподілу.

Нехай потрібно згенерувати вибірку з експоненціального розподілу з параметром λ> 0. Функція цього розподілу F (x) = 1 - e - λ x> строго зростає, і її зворотна функція має вигляд F - 1 (x) = - 1 λ ln ⁡ (1 - x) (x) = -> \, \ ln (1-x)>. Таким чином, якщо U 1. .... U n, \ ldots, U_> - вибірка з стандартного безперервного рівномірного розподілу, то X 1. .... X n, \ ldots, X_>. де

- шукана вибірка з експоненціального розподілу.

Неубутна функція розподілу

Якщо функція F. R → [0. 1] \ to [0,1]> лише не зменшується, то її зворотна функція може не існувати. В такому випадку необхідно модифікувати наведений вище алгоритм.

  • Нехай U 1. .... U n ~ U [0. 1], \ ldots, U_ \ sim U [0,1]> - вибірка з стандартного безперервного рівномірного розподілу.
  • Тоді X 1. .... X n, \ ldots, X_>. де X i = inf . i = 1. .... n = \ inf \\>, \; i = 1, \ ldots, n>. - вибірка з цікавить нас розподілу.
  • Якщо F (x) строго зростає, то F - 1 (u) = inf (U) = \ inf \>. Таким чином, модифікований алгоритм для довільної функції розподілу включає в себе окремо розібраний випадок строго зростаючої функції розподілу.
  • Незважаючи на гадану універсальність, даний алгоритм має серйозні практичні обмеження. Навіть якщо функція розподілу строго зростає, обчислити її зворотний не завжди просто, особливо коли її не вказано у вигляді елементарної функції, як, наприклад, в разі нормального розподілу. У випадку функції розподілу загального вигляду найчастіше необхідно чисельно знаходити точну нижню грань. що може бути дуже трудомістким.

Схожі статті