Найбільш ймовірне значення вимірюваної величини - її середнє арифметичне
Середньою квадратичною помилкою окремого результату вимірювання називається величина
При. прагне до постійного межі:
Величина називається дисперсією вимірювання. Величина служить основним параметром, що визначає вид кривої розподілу випадкових помилок. Нормальний закон розподілу помилок (Гаусовим розподіл) виражається формулою
де - відхилення від істинного значення і - основа натурального логарифма.
Середньоквадратичної помилкою середнього арифметичного називається величина
Це фундаментальний закон зростання точності при зростанні числа вимірів. Імовірність того, що (a), справжнє значення знаходиться всередині деякого інтервалу від до називається коефіцієнтом надійності.
Остаточний результат вимірювань запишеться у вигляді
Множники, що визначають величину інтервалу надійності в частках залежно від a і n. називаються коефіцієнтами Стьюдента, вони позначаються a, t і знаходяться з таблиці (Див. Р.І.Солоухін.Методи фізичних вимірювань. "Наука", 1975).
Кінцевий результат в даному випадку представляється у вигляді
Зі сказаного випливає:
Величина середньоквадратичної помилки дозволяє обчислити вірогідність попадання істинного значення вимірюваної величини в будь-який інтервал поблизу середнього арифметичного.
При ¥,. тобто інтервал, в якому із заданою ймовірністю знаходиться істинне значення. прямує до нуля зі збільшенням числа вимірювань. Це означає зростання точності при зростанні числа вимірів. Здавалося б, збільшуючи n, можна отримати результат з будь-яким ступенем точності. Однак точність суттєво збільшується лише до тих пір, поки випадкова помилка не стане порівнянною із систематичною. Подальше збільшення числа вимірювань недоцільно, тому що кінцева точність результату буде залежати тільки від систематичної помилки. Знаючи величину систематичної помилки, неважко задатися припустимою величиною випадкової помилки, взявши її, наприклад, рівний 10% від систематичної. Ставлячи для обраного таким чином інтервалу надійності певне значення a, неважко знайти необхідне число вимірювань, яке гарантуватиме малий вплив випадкової помилки на точність результату.
При обробці результатів вимірювань пропонується наступний порядок операцій. При прямих вимірах:
1. Результати кожного вимірювання записуються в таблицю.
2. Обчислюється середнє значення з n вимірювань
3. Знаходяться похибки окремого вимірювання
4. Обчислюються квадрати похибок окремих вимірювань
5. Визначається середньоквадратична похибка середнього арифметичного
6. Здається значення надійності.
7. Визначається коефіцієнт Стьюдента для надійності і числа проведених вимірювань.
8. Знаходиться похибка результату вимірювань.
9. Остаточний результат записується у вигляді:
10. Оцінюється відносна похибка результату вимірювань
Порядок виконання роботи
1. Зібрати схему. Ознайомтеся з описом звукового генератора і лічильника імпульсів.
2. Подати на перерахункових пристрій зі звукового генератора сигнал.
3. Підрахувати число імпульсів за 5-10 секунд (час відсікати кнопкою «Стоп» перерахункових механізму). Вимірювання виконати 100 разів для кожної частоти.
4. Провести обробку результатів вимірювань за вказаною вище методикою.
5. Вибрати масштаб і побудувати графік експериментального розподілу помилок: по осі Х відкласти величину відхилення від середнього, по осі У - відносне число вимірювань з відхиленням в заданому інтервалі. На тому ж графіку нанести криву Гаусса з експериментально визначеною дисперсією.
6. Знайти помилку вимірювань для n = 100, 50, 10, використовуючи коефіцієнти Стьюдента.
1. Зайдель А. Н. Елементарні оцінки помилок вимірювань. М. тисяча дев'ятсот шістьдесят п'ять.
2. Фізичний практикум під ред. В. І. Івероновой. М. «Наука», 1968.
3. Р. І. Солоухин. Методи фізичних вимірювань. «Наука» СО АН 1975.
4. Дж. Сівайрс. Практична фізика. М. 1972.