Причиною автокорреляции залишків може бути або невірна специфікація моделі, або наявність неврахованих факторів. Усунення цих причин не завжди дає потрібні результати. Автокорреляция залишків має власні внутрішні причини, пов'язані з автокорреляционной залежністю.
Нехай вихідне рівняння регресії містить автокореляцію випадкових членів.
Припустимо, що автокорреляция підпорядковується автокорреляционной схемою першого порядку:, де - коефіцієнт автокореляції, а - випадковий член, що задовольняє передумов МНК.
Величина є коефіцієнт кореляції між двома сусідніми помилками. ...
Нехай відомо. Перетворимо вихідне рівняння регресії наступним чином:
Тоді перетворене рівняння, де,, не містить автокореляцію, і для оцінки його параметрів використовується звичайний МНК.
Спосіб обчислення і призводить до втрати першого спостереження. Ця проблема при малих вибірках зазвичай долається за допомогою поправки Прайса-Вінстена:
Оцінка коефіцієнта з цієї залежності безпосередньо використовується і для вихідного рівняння, а коефіцієнт розраховується за формулою:.
На практиці величина невідома, її оцінка виходить одночасно з оцінками в результаті наступних ітеративних процедур.
Процедура Кохрейна-Оркатта. Процедура включає наступні етапи:
1. Застосовуючи МНК до вихідного рівняння регресії, отримують початкові оцінки параметрів і;
2. Обчислюють залишки і в якості оцінки використовують коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку, тобто полугают;
3. Застосовуючи МНК до перетвореному рівняння, отримують нові оцінки параметрів і.
Процес зазвичай закінчується, коли чергове наближення мало відрізняється від попереднього. Процедура Кохрейна-Оркатта реалізована в більшості економетричних комп'ютерних програмах.
Процедура Хільдрата-Лу. Ця процедура, також широко застосовувана в регресійних пакетах, заснована на тих же самих принципах, але використовує інший алгоритм обчислень:
1. Перетворене рівняння оцінюють для кожного значення з інтервалу (-1; 1) з заданим кроком всередині його;
2. Вибирають значення, для якого сума квадратів залишків в перетвореному рівнянні мінімальна, а коефіцієнти регресії визначаються при оцінюванні перетвореного рівняння з використанням цього значення.
Приклад 3. Скористаємося даними прикладу 1.
Нехай вихідна модель має вигляд:.
За вихідними даними з використанням МНК отримано наступне оцінене рівняння регресії:
Коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку становить, отже, DW 2 (1-r) = 0,986. При рівні значущості 5% табличне значення = 1,106 і = 1,371. Оскільки, то є позитивна автокорреляция залишків.
Застосовуючи МНК до перетвореним даними:, (), отримаємо оцінку перетвореного рівняння:
Коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку становить, отже, DW 2 (1-r) = 1,71. Оскільки, то автокорреляция залишків відсутня.
Перераховуючи оцінку, отримаємо наступну оцінку вихідної моделі:,. Це рівняння відрізняється від отриманого раніше рівняння, оціненого звичайним МНК.