Середня довжина вільного пробігу λ - це середня відстань, яке проходить молекула між двома послідовними зіткненнями. Для однорідного газу (μ = m 2. u = 2 v) λ = (2 n σ) - 1.
4.4. Число і функція станів молекули ідеального газу
Для підрахунку числа станів молекула ідеального газу розглядається як квазікласичних система. Кожному стану в фазовому просторі відповідає обсяг h 3. Для вільних частинок в ізотропному просторі елементу фазового обсягу відповідає число станів
Ω (ε) d ε = d Γ h 3 = 4 π V p 2 dp h 3 = 2 π V (2 m h 2) 3 2 ε d ε.
Для вільних електронів через спинового виродження це число станів подвоюється. З огляду на загальне число станів мікрочастинки в інтервалі енергій від 0 до ε = 3 kT 2
Значення нижньої межі інтеграла випливає з формули Доплера, коли передбачається, що проекція швидкості може змінюватися від -∞ до ∞. Якщо врахувати принцип Ейнштейна v ≤ c (λ ≥ 0), то результат слабо змінюється, оскільки підінтегральна функція при λ <0 практически равна нулю.
Природна ширина лінії випромінювання, пропорційна T λ 2 0 m. є мінімальною для активних випромінюючих систем, зокрема, молекулярних генераторів.
П р и м і р 5. Припускаючи, що потенційна енергія електрона з зарядом q всередині металу менше його енергії поза металу на величину W = q φ. визначити щільність струму термоелектронної емісії. Концентрація електронів n 0. а маса - m.
Р і ш е н і е. Щільність струму в напрямку, ортогональному поверхні розділу метал-повітря, визначається розподілом Максвелла для відповідної проекції швидкості електрона
d j (v x) = q n 0 v x dW (v x).
Термоелектронну емісію створюють тільки ті електрони, кінетична енергія яких перевищує роботу виходу m v 0 2 x 2 ≥ q φ. Тому
v x d v x = (qn 0 v 4) e
Визначити діелектричну проникність ідеального
газу, що складається з
N молекул з постійною величиною дипольного моменту
p. знаходяться в зовнішньому однорідному полі
напруженістю E при
Р і ш е н і е. Енергія молекули газу при наявності зовнішнього поля дорівнює
ε = m v 2 + 2 - (p G. E) = m v 2 + 2 - pE cos θ,
де θ - кут між напрямком диполя і напруженістю електричного поля. З розподілу Больцмана знаходимо ймовірність орієнтації диполя поблизу кута θ:
dW (θ) = C (T) e α cos θ sin θ d θ,
обертається з частотою ω. У ній знаходиться емульсія з білка і води. Маса білка - M. його відносна молекулярна маса і щільність рівні μ і ρ. Визначити щільність розподілу молекул білка уздовж радіуса центрифуги.
Р і ш е н і е. Потенційна енергія молекули білка під обертається центрифузі на відстані r від осі:
U (r) = m 'ω 2 (R 2 - r 2) 2,
тут m '= μ [1 -ρ 0 ρ] N A - ефективна маса молекули білка, що враховує виштовхуючу силу води щільності ρ 0. N A - число Авогадро. Число молекул, що знаходяться поблизу радіуса r. згідно з розподілом Больцмана, так само
dN (r. z. φ) = Ce - m 'ω 2 (R 2 - r 2) 2 kT rdr dz d φ.
З умови нормування N = ∫ R dN (r) знаходимо
де C = dN dV - має сенс щільності молекул білка поблизу периферії (r ≈ R) центрифуги. Тут використано очевидне рівність N = N A M μ.
Таким чином, щільність молекул білка, що знаходяться всередині простору циліндра висотою l між радіусами r і r + dr. дорівнює
n (r) = n 0 (R) exp (- m 'ω 2 (R 2 - r 2) 2 kT).
4.7. Завдання і вправи для самостійної роботи
4.1. Визначити частку молекул ідеального газу, швидкість яких не перевищує v 0 = 0.1v m в а) одному; б) двох і в) трьох взаємно перпендикулярних
напрямках. v m - найбільш ймовірне значення абсолютної швидкості.
4.2. Як зміниться розподіл Максвелла, якщо система буде здійснювати рух як ціле зі швидкістю u?
4.3. Знайти відносну флуктуації енергії як однієї молекули газу, так і всієї системи, що складається з N молекул.
4.4. У великій посудині об'ємом V при температурі T знаходиться N частинок ідеального газу. Знайти кутовий розподіл часток, що вилітають в одиницю часу в вакуум з невеликого отвору площею S в стінці судини.
4.5. Обчислити найбільш ймовірну енергію ε вір молекул в газі. Показати,
що ε вір ≠ m v вір 2 + 2.
4.6. Газ об'ємом V з молекул з молекулярною масою M r знаходиться при температурі T і тиску p. Визначити число молекул, вектор швидкості
яких становить з віссю z кут не більше α. а абсолютна величина швидкості укладена в інтервалі від v до v + d v. Чому дорівнює маса M цих молекул?
4.7. Обчислити для молекул ідеального газу дисперсію і флуктуації абсолютної швидкості і її однією з проекцій.
4.8. Розріджений ідеальний газ знаходиться в посудині при тиску p. Визначити швидкість витікання газу в вакуумі через невеликий отвір S 0.
4.9. Знайти довжину вільного пробігу молекул домішки до ідеального газу, якщо маса основного газу дорівнює m. їх ефективне перетин σ. а ті ж величини для молекул домішки рівні m 'і σ'.
4.10. Визначити залежність перетину ефективного розсіювання частинок від температури, якщо потенціал взаємодії між частинками має наступний вигляд:
f (p) - будь-яка функція, V - об'єм.
Знайти загальне вираз, що зв'язує тиск газу з енергією частинок, укладених в одиниці об'єму. Вважати, що тиск виникає в результаті ударів молекул об дзеркально-відбивні стінки.
4.12. Знайти розподіл ймовірностей для кутових швидкостей обертання
4.13. Визначити через функцію помилок відношення чисел молекул ідеального газу, що мають енергію менше і більше, ніж ε 1 = kT.
4.14. Для вимірювання числа Авогадро Перрен досліджував розподіл гуммігутових зерен у воді при температурі T. Маса однієї частки обсягом V дорівнює m. Знайти висоту H. де щільність зерен зменшується в 2 рази. Яка необхідна точність вимірювань висоти, щоб помилка при визначенні числа Авогадро не перевищувала α%?
4.15. Знайти середню висоту повітряного стовпа над поверхнею Землі
при нормальній температурі T = 300 0 К. Вважати повітря ідеальним газом з молярною масою μ = 29 м
4.16. Знайти вага нескінченного стовпа повітря, що визначає тиск у поверхні Землі, при T = 300 0 К. Вважати повітря ідеальним газом з молярною масою μ = 29 м Щільність повітря біля поверхні Землі n 0 = 2.69 10 19 см - 3.
4.17. Розрахувати середню потенційну енергію молекул ідеального газу, що знаходиться у вертикальному циліндрі висотою h.
4.18. Циліндрична центрифуга довжиною l і радіуса R обертається з кутовою частотою ω. У ній знаходиться водний розчин білка. Маса білка - M. щільність ρ і молекулярна маса - μ. Щільність води ρ 0. Визначити щільність білка на осі і краю центрифуги. Чому дорівнює маса білкової речовини в шарі товщини b. прилеглому до стінки циліндра?
4.19. Визначити кількість атомів, втрачаються атмосферою планети радіуса R і маси M. Маса атома m. температуру T атмосфери вважати постійної по висоті.
4.20. Молекула ідеального газу маси m знаходиться в полі земного тяжіння. Визначити дисперсію і середнє значення висоти, на якій
знаходиться молекула по відношенню до поверхні z = z 0 = const при температурі T. Вважати правомірним застосування одновимірного розподілу Больцмана.
4.21. Написати розподіл Максвелла-Больцмана для ідеального газу, що оточує тяжіє масу M. має радіус R. Дослідити законно застосування цього розподілу в даному випадку.
4.22. Ідеальний газ з N однакових молекул укладений в обсязі V і знаходиться в зовнішньому потенційному полі U (r). Знайти ймовірність, що
всередині обсягу v
4.23. Визначити діелектричну постійну ідеального газу, що складається з молекул, які мають жорсткі диполі і мають поляризуемостью α. що не залежить від величини зовнішнього поля.
4.24. Суміш l ідеальних газів, що складаються з однакової кількості частинок з різними масами m 1. m 2. m l. знаходиться в циліндрі радіуса R і
висотою h. Визначити центр ваги даної системи в полі земного тяжіння.
4.25. Знайти середню потенційну енергію молекули ідеального газу, що знаходиться в центрифузі радіуса R. обертається з постійною кутовою швидкістю ω.
4.26. У газовій центрифузі радіуса R. обертається з постійною кутовою швидкістю ω. проводиться поділ суміші газів, молекули яких мають
4.27. Атом маси m здійснює коливальний рух під дією пружної сили f = - ж q (лінійний гармонійний осцилятор). Знайти в класичному наближенні середню енергію коливального руху.
4.28. Визначити в класичному наближенні середню енергію обертання двоатомних молекули з масами атомів m 1 і m 2 і заданим відстанню між ними a.
4.29. Однаковий газ міститься в двох судинах, з'єднаних короткою трубкою з малим перерізом S. Тиск (p) і температура (T) в одній посудині вдвічі менше, ніж в іншому. Вважаючи, що маса молекул газу дорівнює m. а тиск і температура не змінюються, визначити масу газу, що протікає з однієї судини в іншій.
4.30. Молекулярний пучок виходить через малий отвір в відкачаний посудину. Знайти середню і середню квадратичну швидкості частинок в пучку.
4.31. Вважаючи, що молекули, при ударі об стінку передають їй p -у частину своєї енергії, знайти енергію, яку отримує 1 см 2 стінки за 1 с.
4.32. Знайти середній розмір l двоатомних молекули, що здійснює гармонічні коливання біля положення рівноваги (a - рівноважний відстань між молекулами).