Визначення 14. Нехай # 151; деякий безліч і # 151; -алгебра його підмножин. Функція називається мірою на, якщо вона задовольняє умовам:
(1) для будь-якого безлічі його міра неотрицательна:;
(2) для будь-якого рахункового набору попарно непересічних множин (тобто такого, що при всіх) міра їх об'єднання дорівнює сумі їх заходів:
( «Рахункова адитивність» або «сигма-адитивність» заходи).
нехай, # 151; безліч всіх підмножин. Задамо міру на так:,,,,,,,. Для стислості запису ми замість писали всюди.
нехай, # 151; безліч всіх підмножин натурального ряду. Задамо міру на так: # 151; число елементів у множині (або нескінченність, якщо безліч не є кінцевим).
Приклад 16 (міра Лебега (1)). Коли ми говорили про геометричній ймовірності, ми використовували термін «міра області в», маючи на увазі «довжину» на прямий, «площа» на площині, «обсяг» в тривимірному просторі. Чи є всі ці «довжини-площі-обсяги» справжніми заходами в сенсі визначення 14. Ми вирішимо це питання для прямої, залишаючи площину і простір більшої розмірності читачеві.
Розглянемо речову пряму з алгебри борелевская множин. Ця -алгебра, за визначенням, є найменша -алгебра, що містить будь-які інтервали. Для кожного інтервалу число назвемо довжиною інтервалу.
Ми не станемо доводити наступне твердження:
Лемма 1. Існує єдина міра на, значення якої на будь-якому інтервалі одно його довжині:. Цей захід називається мірою Лебега.
Зауваження 7. Це твердження є наслідком теореми Каратеодорі (2) про продовження заходів з алгебри на -алгебри, стосовно. Користуючись процедурою лебеговськой продовження (поповнення) заходи, можна поширити міру на ширшу -алгебри, ніж борелевская, # 151; на -алгебри вимірних по Лебегу множин. Для цього досить привласнити нульову міру будь-яким підмножини борелевская множин з нульовою мірою Лебега.
Нам знадобиться властивість, якою володіє будь-яка міра. Це властивість безперервності заходи іноді називають аксіомою безперервності. маючи на увазі, що нею можна замінити (2) у визначенні 14.
Лемма 2 (безперервність заходи). Нехай дана спадна послідовність вкладених один в одного множин з така, що і. Тоді.
Доведення. Позначимо через кільця:. Безлічі,,,, попарно не перетинаються. Тоді з уявлень
в силу аксіоми (2) випливає, що
Перша сума в силу умови є сума абсолютно сходиться ряду (складеного з невід'ємних складових). З збіжності цього ряду слід, що «хвіст» ряду, рівний, прагне до нуля при. Тому
У корисності цієї властивості легко переконатися вправами.
Використовуючи аксіому безперервності заходи для множин, довести, що міра Лебега одноточечного підмножини речової прямої дорівнює нулю:. Використовуючи цей факт, довести, що,,,.
Зауваження. За відсутності припущення (або для деякого), що змушує заходи вкладених множин бути кінцевими, властивість може не виконуватися.
Наприклад, задамо міру на так:, а то й більш ніж лічильно, інакше. Тоді для множин маємо:
І ось нарешті ми в змозі визначити поняття ймовірності.
Визначення 15. Нехай # 151; безліч і # 151; -алгебра його підмножин. Міра називається нормованою, якщо. Інша назва нормованої заходи # 151; ймовірність або імовірнісна міра.
Те ж саме ще раз і детально:
Визначення 16. Нехай # 151; простір елементарних фіналів, # 151; -алгебра його підмножин (подій). Ймовірністю або ймовірнісної мірою на називається функція, що володіє властивостями:
(P1) для будь-якої події виконується нерівність;
(P2) для будь-якого рахункового набору попарно несумісних подій має місце рівність
(P3) ймовірність достовірної події дорівнює одиниці:.
Властивості (P1) # 151; (P3) називають аксіомами ймовірності.
Визначення 17. Трійка, в якій # 151; простір елементарних фіналів, # 151; -алгебра його підмножин і # 151; імовірнісна міра на, називається імовірнісним простором.
Доведемо властивості ймовірності, що випливають з аксіом. Нижче ми не будемо щоразу пояснювати, але будемо мати на увазі, що маємо справу тільки з подіями.
Доведення. Події, де, попарно несумісні, і їх об'єднання є також порожня множина. За аксіомі (P2).
Це можливо тільки в разі.
Аксіома лічильної адитивності ймовірності (P2) тим більш вірна для кінцевого набору попарно несумісних подій.
Властивість 1. Для будь-якого кінцевого набору попарно несумісних подій має місце рівність
Доведення. Покладемо при будь-якому. Ймовірності цих подій, за властивістю 0, дорівнюють нулю. Події,,, попарно несумісні, і по аксіомі (P2).
Відразу кілька наслідків можна отримати з цього властивості.
Властивість 2. Для будь-якої події виконано:.
Доведення. Оскільки, і події і несумісні, з аксіоми (P3) і властивості 1 отримаємо.
Властивість 3. Якщо, то.
Доведення. Уявімо у вигляді об'єднання двох несумісних подій:. По властивості 1,.
Відразу ж зауважимо, що по аксіомі (P1) вираз в правій частині рівності більше або дорівнює, що доводить наступне властивість монотонності ймовірності.
Властивість 4. Якщо, то.
Властивість 5. Для будь-якої події виконано:.
Доведення. по (P1). А так як, то.
Властивість 6. Завжди.
Доведення. Маємо, тому по властивості 3 Але, причому і несумісні. Знову користуючись властивістю 1, отримаємо:
З цієї властивості і аксіоми (P1) слідують два корисних властивості. Властивість 8 читач доведе за допомогою властивості 7.
Властивість 7. Завжди.
Властивість 8. Абсолютно завжди.
Наступне властивість називають формулою включення і виключення. Вона виявляється досить корисною в разі, коли для обчислення ймовірності деякого події не можна розбити цю подію на зручні попарно несумісні події, але вдається розбити подія на прості складові, які, проте, сумісні.
Властивість 9. Для будь-якого кінцевого набору подій,, має місце рівність:
Доведення. Скористаємося методом математичної індукції. Базис індукції при # 151; властивість 6. Нехай властивість 9 вірно при. Доведемо, що тоді воно вірно при. По властивості 6,
Вправа 19. Підставити (4). (5) в (3) і довести до кінця крок індукції.
Наведемо приклад завдання, в якій використання властивості 9 # 151; найпростіший шлях вирішення. Це відома «завдання про розсіяною секретарці».
Приклад 17. Є листів і підписаних конвертів. Листи розкладаються в конверти навмання по одному. Знайти ймовірність того, що хоча б один лист потрапить в призначений йому конверт, і межа цієї ймовірності при.
Рішення. Нехай подія,, означає, що -е лист потрапив в свій конверт. тоді
Так як події,, сумісні, доведеться використовувати формулу (2). За класичним визначенням ймовірності обчислимо ймовірності всіх подій і їх перетинів. Елементарними наслідками будуть всілякі перестановки (розміщення) листів у конверти. Їх загальна кількість є, і події сприятливі з них, а саме будь-які перестановки всіх листів, крім -го, що лежить в своєму конверті. Тому для всіх.
Абсолютно так само отримаємо, що при будь-яких
Імовірність перетину будь-яких трьох подій дорівнює
Аналогічно порахуємо ймовірності перетинів будь-якого іншого числа подій, в тому числі
Обчислимо кількість доданків в кожній сумі у формулі (2). Наприклад, в сумі по рівно доданків # 151; рівно стільки трьохелементна множин можна утворити з елементів, і кожне таке безліч зустрічається в індексах даної суми один раз. Підставляючи всі ймовірності в формулу (2). отримаємо:
Вправа 20. Виписати розкладання в ряд Тейлора і переконатися в тому, що при.