Тема 3.1. Завдання, що призводять до поняття похідної. Визначення похідної. Її геометричний і механічний зміст. Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій. Похідна складної і зворотної функції. Похідні вищих порядків.
Тема 3. 2. Диференціал функції, його геометричний зміст. Інваріантність форми диференціала. Диференціювання функцій, заданих параметрично. Застосування диференціала в наближених обчисленнях.
Правило Лопіталя.Точкі екстремуму функції. Теорема Ферма. Теорема Ролля, Лагранжа, Коші
Методичні вказівки по його вивченню.
Після вивчення за підручниками теоретичного матеріалу розберіть реше-
ня прикладів 6, 7.
Для довідок наведемо правила і формули диференціювання основних елементарних функцій.
Якщо u = х. то u '= 1.
Приклад 6. Знайти похідні даних функцій:
а) застосовуємо правило диференціювання складної функції і
б) Послідовно застосовуємо правило диференціювання складної функції:
в) логарифмуючи цю функцію:.
Диференціюючи обидві частини останнього рівності:.
г) Ця функція задана в неявній формі. Диференціюючи за х обидві частини рівняння, маємо
д) Прологаріфміруем по підставі е обидві частини даного рівності:
. Диференціюючи обидві частини останнього рівності по змінної х. вважаючи тут у функцією від х:
Приклад 7. Знайти диференціал функції.
Рішення. Диференціалом dy функції у точці х називаються
ється головна, лінійна відносно # 8710; х частина у '# 8710; х збільшення # 8710; у
функції, тобто .Так як. то
Виходячи з визначення диференціала, маємо:
Питання для самоконтролю.
1. Що називається похідною функції?
2. Який геометричний, фізичний зміст похідної?
3. Яка функція називається диференційованою в точці? на інтервалі?
4. Як пов'язані між собою безперервність і дифференцируемость функції в точці?
5. Напишіть правила диференціювання функцій.
6. Напишіть формули диференціювання основних елементарних функцій.
7. Сформулюйте правило диференціювання складної функції.
8. Сформулюйте визначення диференціала функції.
9. Перерахуйте властивості диференціала функції.
10. Який геометричний зміст диференціала функції?
2. 3. 4. Завдання для самостійної роботи
У завданнях 1 - 3 знайти похідні зазначених функцій.
4.Найті диференціал функції.
5.Вичісліть межа. використовуючи правило Лопіталя.
Модуль 4. Застосування диференціального числення до дослідження функцій.
Тема 4. 1. Умови монотонності функцій. Екстремуми функції, необхідна умова. Достатні умови. Відшукання найбільшого і найменшого значень функції, що диференціюється на відрізку.
Тема 4. 2.Ісследованіе опуклості графіка функції. Точки перегіба.А сімптоти графіка функції. Загальна схема дослідження функції та побудови її графіка. Рівняння дотичної до кривої в даній точці.