Нехай ф-ія w = f (z) = u (x. Y) + iv (x. Y) визначена в околиці точки = + i. де u (x. y) і v (x. y) - безперервно диференціюються (гладкі) в окр-ти точки (.) функції. І нехай Якобіан u = u (x. Y) v = v (x. Y) (1) не дорівнює нулю в точці (.) І її околиці. Тоді відображення (1) є взаємно однозначним в окр-ти цієї точки.
Розглянути. на пл-ти гладку криву з початком в точці. Нехай z. z. Позначимо z = z -. = Arg z. l - дотичний вектор до кривої в точці. = Arg l.
Гладка крива на площині w з початком в точці = f () - образ кривої при відображенні w = f (z). w = w-. = Arg w, l '- дотичний вектор до в точці. = Arg l '.
k = - лінійне розтягнення кривої в точці. - - кут повороту кривої в цій точці при відображенні w = f (z).
Нехай w = f (z) - регулярна в точці і f '() 0. Тоді = f' (z) і =. = (2), - = arg f '() (3).
Права частина (2) не залежить від виду і напрямку кривої. тобто лінійне розтягнення в т. одне і те ж для всіх кривих з початком в і так само. Це властивість називаетсо властивістю сталості розтягувань відображення w = f (z) в точці
З (2) = + o (), тобто окр-ть = переходить в окр-ть = *. (Через це властивість сталості розтягувань називають також круговою властивістю)
Права частина (3) не залежить від виду і напрямку кривої. тобто кут повороту в точці один і той же для всіх кривих з початком в точці і дорівнює arg f '().
Кутом між кривими з початком в точці називають кут між дотичними до них векторах в цій точці.
Властивість збереження кутів: кут між кривими в точці дорівнює куту між образами цих кривих в точці = f () по абсолютній величині і по напрямку відліку.
Якобіан (1) - коефіцієнт розтягування областей. Якщо w = f (z) = u (x, y) + iv (x, y) регулярна в області D, то з умов Коші-Рімана J (x, y) = - = +. тобто J (z) = J (x, y) = (4).
нехай w = f (z) регулярна в D і здійснює взаємно-одн. відобр-е області D на область G площині w. Тоді з (4) S (G) = = =. Якщо при цьому D, - її образ, то l () = =.
Визначення 1. Відображення w = f (z) області D комплексної площині називається конформнимв точці. якщо його компоненти u (x, y) і v (x, y) диф-ми в точці = + i. а лінійне відобр-е (1) являє собою композицію розтягування і повороту щодо точки 0.
Теорема. Відображення wконформно в точці w диф-ма в точці і f '() 0.
Визначення 2. Отображеніеwназивается конформних в області D, якщо воно однолістних на D і конформно в кожній точці з D.