Завдання. Знайти наближене значення функції в точці із заданим ступенем точності.
Рішення. Розкладемо функцію в ряд за ступенями з інтервалом збіжності, що містить точку. де - точка, в якій значення функції, а також її похідних легко обчислюються, даючи точні значення.
Змінної даємо значення і в числовому ряду залишимо тільки ті члени, які гарантують задану точність.
Число таких членів визначається за правилом:
- якщо ряд знакоположітельний, то за допомогою залишкового члена формули Тейлора.
- якщо ряд Знакозмінні, то за допомогою залишку ряду Тейлора.
Приклад. Обчислити з точністю.
Рішення. Маємо і - Знакозмінні ряд, значить, можна застосувати залишок ряду Маклорена.
Підбором, при значенні отримаємо - умова виконується. Тоді,.
Приклад. Обчислити з точністю.
Рішення. Для обчислення запишемо ряд. При. входить в область збіжності ряду:
Якщо в якості взяти перші чотири члени, ми допустимо похибка.
Приклад. Обчислити з точністю.
Рішення. Уявімо у вигляді. Так як входить в область збіжності статечного ряду. то при значеннях. . враховуючи що
Для забезпечення даної точності розрахунку необхідно взяти 4 члени, так як по слідству з ознаки Лейбніца для сходиться Знакозмінні ряду похибка.