Точка належить площині, якщо вона належить будь-якої прямої цієї площини.
Пряма належить площині, якщо дві її точки належать площині.
Ці два цілком очевидних пропозиції часто називають умовами приналежності точки і прямої площині.
На рис. 3.6 площину загального положення задана трикутником АВС. Точки А, В, С належать цій площині, так як є вершинами трикутника з цієї площини. Прямі (АВ), (ВС), (АС) належать площині, так як по дві їх точки належать площині. Точка N належить (AC), D належить (AB), E належить (CD) і, отже, точки N і E належать площині (DABC), тоді пряма (NE) належить площині (DABC).
Якщо задана одна проекція точки L, наприклад L2. і відомо, що точка L належить площині (DABC), то для знаходження другої проекції L1 послідовно знаходимо (A2 L2), K2. (A1 K1), L1.
Якщо умова приналежності точки площині порушено, то точка не належить площині. На рис. 3.6 точка R не належить площині (DABC), так як R2 належить (F2 K2), а R1 не належить (A1 K1).
На рис. 3.7 наведено комплексний креслення горизонтально проецирующей площині (DCDE). Точки K і P належать цій площині, так як P1 і K1 належать прямий (D1 C1), що є горизонтальною проекцією площини (DCDE). Точка N не належить площині, так як N1 не належить (D1 C1).
Всі точки площини (DCDE) проектуються на П1 в пряму (D1 C1). Це випливає з того, що площину (DCDE) ^ П1. У цьому ж можна переконатися, якщо виконати для точки P (або будь-який інший точки) побудови, які були зроблені для точки L (рис. 3.6). Точка P1 потрапить на пряму (D1 C1). Таким чином, для того, щоб визначити приналежність точки горизонтально проецирующей площині, фронтальна проекція (DC2 D2 E2) не потрібна. Тому в подальшому проектують площині будуть задаватися тільки однією проекцією (прямою лінією). На рис. 3.7 показана фронтально проектує площину S, задана фронтальною проекцією S2. а також точки A Î S і B Ï S.
Взаємне положення точки і площини зводиться до приналежності або неналежність точки площині.
При вирішенні багатьох завдань доводиться будувати лінії рівня, що належать площинах загального і приватного положення. На рис. 3.8 показані горизонталь h і фронталь f, що належать площині загального положення (DABC). Фронтальна проекція h2 паралельна осі x, тому пряма h - горизонталь. Точки 1 і 2 прямої h належать площині, тому пряма h належить площині. Таким чином, пряма h - це горизонталь площини (DABC). Зазвичай порядок побудови такої: h2; 12. 22; 11. 21; (11 21) = h1. Фронталь f проведена через точку A. Порядок побудови: f1 // x, A1 Î f1; 31. 32; (A2 32) = f2.
На рис. 3.9 показані проекції горизонталі і фронталі для фронтально проецирующей площині S і горизонтально проецирующей площині Г. В площині S горизонталь є фронтально проецирующей прямий і проходить через точку A (спробуйте уявити горизонталь як лінію перетину S і площини, що проходить через точку A паралельно П1). Фронталь проходить через точку С. В площині Г горизонталь і фронталь проведені через одну точку D. фронталь є горизонтально проецирующей прямий.
З розглянутих вище побудов слід, що лінію рівня в площині можна провести через будь-яку точку цієї площини.
Збіг площин можна трактувати як приналежність одній площині інший. Якщо три точки однієї площини належать іншій площині, то ці площини збігаються. Згадані три точки не повинні лежати на одній прямій. На рис. 3.10 площину (DDNE) збігається з площиною S (DABC), так як точки D, N, E належать площині S (DABC).
Звернемо увагу на те, що площину S, задана DABC, тепер може бути задана DDNE. Будь-яка площина може бути задана лініями рівня. Для цього необхідно через точку площини S (DABC) (наприклад, через точку А) провести в площині горизонталь і фронталь, які і будуть задавати площину S (на рис. 3.10 побудови не показані). Послідовність побудови горизонталі: h2 // x (A2 Î h2); K2 = h2 Ç B2 C2; K1 Î B1 C1 (K2 K1 ^ x); A1 K1 = h1. Послідовність побудови фронталі: f1 // x (A1 Î f1); L1 = f1 Ç B1 C1; L2 Î B2 C2 (L1 L2 ^ x); A2 L2 = f2. Можна записати S (DABC) = S (h, f).
ПЕРЕТВОРЕННЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
В курсі нарисної геометрії під перетворенням комплексного креслення фігури зазвичай розуміється його зміна, викликане переміщенням фігури в просторі, або введенням нових площин проекцій, або використанням інших видів проектування. Застосування різних методів (способів) перетворення комплексного креслення спрощує вирішення багатьох завдань.
4.1. Метод заміни площин проекцій
Метод заміни площин проекцій полягає в тому, що замість однієї з площин проекцій вводиться нова площина, перпендикулярна до іншої площини проекцій. На рис. 4.1 показана просторова схема отримання комплексного креслення точки А в системі (П1 П2). Точки А1 і А2 - горизонтальна і фронтальна проекції точки А, Аа1 Аx А2 - прямокутник, площина якого перпендикулярна осі x (рис. 2.3).
Нова площина П4 перпендикулярна П1. При проектуванні точки А на П4 отримаємо нову проекцію А4. фігура Аа1 А14 А4 - прямокутник, площина якого перпендикулярна нової осі x14 = П4 Ç П1. Для отримання комплексного креслення будемо розглядати фігури, розташовані в площинах проекцій. Поворотом навколо осі x14 сумісний П4 з П1. потім поворотом навколо осі x сумісний П1 (і П4) з П2 (на рис. 4.1 напрямку руху площин П4 і П1 показані штриховими лініями зі стрілками). Отриманий креслення наведено на рис. 4.2. Прямі кути на рис. 4.1, 4.2 позначені дугою з точкою, рівні відрізки позначені двома штрихами (протилежні сторони прямокутників на рис. 4.1). Від комплексного креслення точки А в системі (П1 П2) перейшли до комплексного креслення точки А в системі (П1 П4), замінили площину П2 на площину П4. замінили А2 на А4.
На основі цих побудов сформулюємо правило заміни площин проекцій (правило отримання нової проекції). Через незамінюваних проекцію проводимо нову лінію проекційної зв'язку перпендикулярно нової осі, потім від нової осі по лінії проекційної зв'язку відкладаємо відрізок, довжина якого дорівнює відстані від замінної проекції до старої осі, отримана при цьому точка і є нова проекція. Напрямок нової осі будемо брати довільно. Новий початок координат вказувати не будемо.
На рис. 4.3 показаний перехід від комплексного креслення в системі (П1 П2) до комплексного креслення в системі (П2 П4), а потім ще один перехід до комплексного креслення в системі (П4 П5). Замість площині П1 введена площину П4. перпендикулярна П2. потім замість П2 введена площину П5. перпендикулярна П4. Використовуючи правило заміни площин проекцій, можна виконати будь-яку кількість замін площин проекцій.