Нарисна геометрія займає особливе положення серед інших наук. Вона є найкращим засобом розвитку у людини просторового мислення і уяви.
Нарисна геометрія - один з розділів геометрії, в якому просторові фігури, що представляють собою сукупність точок, ліній, поверхонь, вивчаються по їх плоским зображенням або проекція.
Основне завдання нарисної геометрії полягає в зіставленні тр # 1105; вимірної об'єкта з його плоскою проекційної моделлю.
Плоске зображення предмета або деталі називається е # 1105; кресленням. Чорт # 1105; ж - це не просто малюнок, а конструкторський документ. Він виконується за відповідними вимогам, єдиним стандартом. Його можна назвати своєрідною мовою, в якому використовуються точки, лінії, літери, цифри, прич # 1105; м ця мова є інтернаціональним, тому що він зрозумілий кожному інженеру і не залежить від мови.
За допомогою цих простих геометричних елементів (точок, ліній і т.д.) людина має можливість зобразити складні механізми, прилади, будівлі і т.д.
Методи нарисної геометрії знаходять широке застосування у фізиці, хімії, механіки, кристалографії, архітектурі і застосовуються практично у всіх галузях промисловості, починаючи від лісового господарства і закінчуючи найскладнішою електронікою космічних літальних апаратів.
Нарисна геометрія, як і інші розділи математики, розвиває логічне мислення і тому входить в число фундаментальних дисциплін інженерної освіти.
Нарисна геометрія та інженерна графіка укладаються в рамки однієї навчальної дисципліни і виконують одну й ту ж задачу - зіставлення тр # 1105; вимірної об'єкта з його плоскою проекційної моделлю. Відмінність між ними полягає в тому, що в інженерній графіці під тр # 1105; вимірної об'єктом розуміється конкретне, матеріально воплощ # 1105; нное завдання, будівельне споруда або деталь, в той час як нарисна геометрія оперує абстрактними, відвернути # 1105; тах моделями. У цьому сенсі інженерна графіка являє собою дуже приватна відгалуження нарисної геометрії, е # 1105; вузькоспеціалізований підрозділ. Але, завдяки такій вузькій практичної спрямованості інженерної графіки, в ній з'являються абсолютно нові питання, до нарисної геометрії відношення не мають. Сюди відносяться правила оформлення креслень, відомості про використання технічних стандартів і ряд інших питань.
Історія розвитку нарисної геометрії йде корінням в глибоку старовину. Про це свідчать пам'ятки стародавнього мистецтва, будівельні та архітектурні форми, що збереглися до нашого часу. Ещ # 1105; древні єгиптяни намагалися зображати об'єкти у вигляді плоских проекцій, але це все відобразити # 1105; здійснювалося стихійно, без використання тв # 1105; РДО встановлених правил і закономірностей.
Перше збереглося систематизований виклад інженерного досвіду відноситься до 16-13 років до н.е. твір під назвою «Десять книг про архітектуру» написав римський архітектор та інженер Марк Вітрувій Полліон.
Приблизно в цей же час розквіту культури древньої Греції йшло інтенсивне накопичення геометричних знань. З'явилася обчислювальна геометрія. Піфагор, Евклід і ін. Систематизували геометричні відомості. Евклід видав працю під назвою «Начала» -15 книг, куди увійшли визначення, постулати, основні аксіоми і теореми. Він побудував науку геометрію так, як вона є зараз. Ми до сих пір користуємося їй майже без змін. З уч # 1105; них цієї ж епохи можна назвати також Архімеда, Фалеса.
Наступним ривком у розвитку наук, мистецтв і техніки з'явилася епоха Відродження. Питанням побудови наочних зображень (перспективи) приділяли в той час велика увага багато відомих уч # 1105; ні, інженери, архітектори та художники. Серед них Леонардо да Вінчі, Альбрехт Дюрер, Леон Баттіста, Гвідо Убальди. Така підвищена увага до цієї теми було викликано розвитком техніки, ускладненням архітектурно-будівельних завдань, а також загальним духом часу, спрямованим на культ наукового методу і наукового знання.
Досягнуті тут успіхи не були марними і принесли свої плоди в роки французької революції (18 століття). Геометри цього часу - Жерар де Зак, Паскаль і інші. Паскалем були вивчені конічні перетину. Великий математик, інженер, член Паризької Академії наук Гаспар Монж виступив зі своєю роботою «Нарисна геометрія» в 1798 р цій науковій праці вперше була опрацьована ідея адекватного відображення тр # 1105; вимірної простору на площину за допомогою проекційного методу. Варіант такого відображення, який називається системою ортогонального проектування на три площини проекцій, використовується до теперішнього часу. Гаспар Монж вважається основоположником нарисної геометрії.
З тих пір нарисна геометрія поповнилася деякими допоміжними варіантами проекційних зображень (аксонометрія) і поступово оформлялася ж # 1105; сткімі правилами, вимогами, стандартами. Весь цей матеріал в сукупності склав основу сучасної інженерної графіки.
Поряд з цим тенденція до узагальнення привела до об'єднання ідей Г. Монжа і дослідників епохи Відродження. В результаті цього виникла класична нарисна геометрія, призначена для вивчення геометричних образів тр # 1105; вимірної простору. Розвивалася проективна геометрія (Х. Вінер, Г. Гаук, Е. Мюллер), розглядалися проблеми відображення багатомірного геометричного простору і способи побудови нелінійних зображень (В. Фідлер, Е.С. Ф # 1105; доров). Ці дослідження склали область математично абстрагованою нарисної геометрії.
Російські інженери та архітектори користувалися на практиці проекційними кресленнями, в тому числі і системою ортогональних проекцій задовго до появи Г. Монжа. Про це свідчать збережені документи, які стосуються початку XIX століття (винахідник Кулібін і зодчі С.І. Чевакинский, К.А. Ухтомський, В.І. Баженов). У ті часи в інженерних школах викладалося креслення. У Перновском військово-технічному училищі 1731-1733 р викладання математичних наук, фортифікації і креслення в # 1105; л А.П. Ганнібал - прадід А.С. Пушкіна. На початку XIX століття в вищих і середніх навчальних закладах розпочалося викладання нарисної геометрії. Шарль Потьє читав курс лекцій в Московському інституті інженерів шляхів сполучення. З'явилися перші навчальні посібники (Я.С. Севастьянов, Н.І. Макаров, В.І. Курдюмов) з нарисної геометрії в строго класичному е # 1105; розумінні. І в цьому виді дисципліна збереглася до 20 століття.
Приблизно з середини 40-х років почався розвиток обчислювальної техніки, з'явилися ЕОМ. Серед різноманітних функцій, доступних комп'ютера, можуть бути: виконання графіків, схем і креслень. Виникла спеціальна навчальна дисципліна - «Машинна графіка», яка, з 1987 р увійшла в навчальну програму підготовки інженерів.
При виконанні креслень і зображень в нарисної геометрії прийняті наступні умовні позначення:
а) точки позначаються прописними буквами латинського алфавіту або цифрами. Наприклад: A, B, C або 1, 2, 3. Цифри і букви можуть бути забезпечені індексами: A1, B2;
б) лінії прийнято позначати малими літерами латинського алфавіту: а1, в2, m3 і т.д .;
в) площини позначаються великими літерами грецького алфавіту: γ, σ, ω, ψ;
г) знак паралельності: //. Наприклад, пряма А паралельна прямій В записується: А // В;
д) перетин: а # 199; в;
е) схрещування: · /. Пряма m схрещується з прямою n: m / · n;
ж) позначення кута: # 208; ABC;
з) приналежність: # 204;
Точка М належить прямій t: М # 204; t;
і) перпендикулярність: # 94;
Пряма l перпендикулярна площині S: l # 94; S.
Для вирішення основного завдання нарисної геометрії, тобто для встановлення адекватної відповідності положення точки в просторі і е # 1105; зображення на площині застосовується конструктивний при # 1105; м, який іменується операцією проектування. Для цього вводиться деяка площину, яка називається площиною проекцій, і деяка точка в просторі - центр проекцій. Через центр проекцій і дану точку проводиться промінь до перетину з площиною проекцій.
На малюнку 1 точка S- центр проекцій; П1 площину проекцій; точка A1 і B2- проекції точок A і B на площину П1.
Однак для того, щоб виконати зворотну процедуру, тобто по проекції точки отримати її положення в просторі, недостатньо однієї її проекції. Маючи дві проекції точки А і два центри проекцій, можна отримати точку А (рисунок 2).
Паралельне проектування є окремим випадком центрального, коли центр проекції молодецький # 1105; н в нескінченність. В цьому випадку заду # 1105; ться напрям проектування - промінь S1 або S2. Проекцією точки А в даному випадку буде точка перетину променя, провед # 1105; ного через цю точку паралельно напрямку проектування до перетину з площиною проекцій (рисунок 3).
Для того, щоб за проекціями точки А отримати е # 1105; справжній стан в просторі, необхідно мати дві е # 1105; проекції на площину П. Точка перетину променів, відновлених з точки А1 і А2 паралельно S1 і S2, буде точкою А.
Окремим випадком паралельного проектування є ортогональное проектування. При цьому напрям проектування завжди перпендикулярно площині проекцій (рисунок 4).
У разі ортогонального проектування, для того щоб визначити положення точки в просторі по е # 1105; проекції, необхідно ввести додаткову площину проекцій П2, яка була б перпендикулярна П1 (малюнок 5).
На малюнку 5 показано побудову проекцій точки А на дві взаємно ортогональні площини П1 і П2. І навпаки, маючи дві проекції точки А - А1 і А2, ми завжди можемо отримати положення точки А в просторі, відновивши перпендикуляри до площин проекцій.
Переваги ортогонального проектування:
1. Простота графічних побудов для визначення ортогональних проекцій.
2. Можливість зберегти при определ # 1105; нних умовах на проекціях форму і розміри проектованої фігури.
У машинобудуванні, для того щоб мати можливість за кресленням судити про форму і розміри зображуваних деталей користуються не двома, а кількома площинами проекцій, як правило, трьома. Ці три взаємно ортогональні площини носять назви: П1 - горизонтальна, П2 - фронтальна і П3 - профільна площина проекцій. На малюнку 6 показано побудову проекцій точки в цій системі площин проекцій.
Малюнок 6 представляє просторове зображення точки А і площин проекцій, але в інженерній практиці користуватися такими зображеннями не завжди зручно. Тому застосовується плоский рис # 1105; ж, на якому поєднані всі три площини і який носить назву Епюр Монжа. Утворюється він у такий спосіб: горизонтальна площина П1 повертається навколо осі Х на 90 градусів вниз до суміщення з фронтальною площиною, а профільна повертається навколо осі Z на 90 градусів вправо. В результаті отримаємо плоске зображення всіх тр # 1105; х площин проекцій (малюнок 7). Цей рис # 1105; ж називається епюр Монжа або комплексним кресленням.
Побудуємо проекції точки А, изображ # 1105; ної на малюнку 6, на епюрі Монжа. Для цього відкладемо по осі X (рис.7) координату точки А по осі Х - відстань Ах. Потім з цієї точки відновимо перпендикуляри до осі Х на площині П2 і П1.
Вгору, на площину П2, відкладемо висоту точки А чи е # 1105; координату по осі Z, а вниз, на площину П1, відкладаємо глибину точки два рази. Це спотворення по осі У виходить з-за того, що вісь У повернулась на 45 градусів у порівнянні з просторовим зображенням. Для того щоб побудувати профільну проекцію точки А, з е # 1105; фронтальної проекції А2 проводимо перпендикуляр до осі Z і відкладаємо на н # 1105; м від осі Z глибину точки або е # 1105; координату по осі У. Отримані три проекції точки А (А1, А2, А3) дають повне уявлення про стан точки в просторі. Цей рис # 1105; ж називається комплексним кресленням точки. Лінії, що з'єднують проекції точки, називаються лініями зв'язку.
1. Що вивчає нарисна геометрія?
2. Що називається кресленням?
3. У чому відмінність нарисної геометрії від інженерної графіки?
4. Назвіть основні етапи розвитку геометрії.
5. Які спеціальні символи існують для позначення паралельності, перпендикулярності, перетину, схрещування? Які позначення ви знаєте, крім цих?
6. У чому сутність центрального проектування?
7. Як утворюється проекція точки при паралельному проектуванні?
8. Назвіть основні площини проекцій.
9. Що таке епюр Монжа? Як він утворюється?