Необхідність введення тензорних величин пов'язана з різного роду анізотропією властивостей фізичних макроскопічних об'єктів. Тензор пов'язує дві векторні величини, які пропорційні один одному по модулю, але в силу анізотропії властивостей об'єкта не збігаються один з одним у напрямку. У разі L і вирішальну роль грає "анізотропія" форми тіла (відсутність певної симетрії щодо осей xyz). В інших випадках це може бути анізотропія, наприклад, електричних або магнітних властивостей речовини. Так, вектори поляризації речовини Р і напруженості електричного поля Е пов'язані тензором поляризуемости: - електрична постійна). Це означає, що в силу анізотропії електричних властивостей речовина поляризується "не по полю", тобто "не по полю" зміщуються позитивні і негативні заряди в молекулах речовини. Прикладами інших, в загальному випадку тензорних величин є діелектрична проникність і магнітна проникність речовини. Важливу роль в механіці грають тензори деформацій і напружень. З цими та іншими тензорними величинами ви познайомитеся при вивченні відповідних розділів курсу загальної фізики.
Зауваження. Якщо і L в вираженні (2.3) проектувати на осі лабораторної системи XYZ, то компоненти тензора виявилися б залежними від часу. Такий підхід в принципі можливий; він, зокрема, використовується в Берклєєвський курсі фізики [Ч. Киттель і ін. 1983].
Виникає питання: чи можливий для довільного твердого тіла випадок, коли вектори L і збігаються? Виявляється, що для будь-якого тіла і будь-якої точки Про є принаймні три взаємно перпендикулярних напрямки (або, іншими словами, три взаємно перпендикулярні осі обертання), для яких напряму L і збігаються. Такі осі називаються головними осями інерції тіла.
Якщо осі Ox, Oy і Oz поєднати з головними осями інерції тіла, то матриця буде мати діагональний вигляд:
Величини в цьому випадку називаються головними моментами інерції тіла. При цьому
тобто, дійсно, якщо вектор направлений вздовж однієї з головних осей інерції тіла, то вектор L буде спрямований точно так же (рис. 2.6).
Розташування головних осей інерції в тілі і значення відповідних головних моментів інерції залежать від вибору точки О. Якщо Про збігається з центром мас, то головні осі називаються головними центральними осями тіла. Якщо головні осі інерції тіла відомі, то значення головних моментів інерції обчислюються з геометрії мас. наприклад:
Тут - відстань елементарної маси від головної осі Ox.
Як же визначити головні осі інерції для обраної точки Про твердого тіла? Якщо осі Ox, Oy і Oz проведені в тілі довільно, то в загальному випадку вони не збігаються з головними осями інерції. Такого збігу можна домогтися шляхом деякого повороту вихідної системи координат щодо твердого тіла. У нових координатах матриця стає діагональної.
У багатьох випадках головні осі інерції вдається легко визначити з міркувань симетрії. На рис. 2.7-2.10 зображені головні осі інерції для різних точок тіл, що володіють певною симетрією: циліндра (рис. 2.7), прямокутного паралелепіпеда (рис. 2.8), куба (рис. 2.9) і кулі (рис. 2.10). Легко здогадатися, що у всіх цих випадках Наприклад, в разі прямокутного паралелепіпеда (рис. 2.8) так як для будь-якої маси з даними значеннями знайдеться симетрично розташована маса з тими ж значеннями і. але з протилежним значенням