а) Історія появи магічних квадратів
б) Дослідження способів заповнення магічних квадратів
в) Дослідження кількості рішень магічних квадратів.
4. Література стор.9
5. Додаток стр.10-13
Коли я навчався в початкових класах. на уроках математики вчителька часто нам пропонувала заповнювати магічні квадрати. Тоді вони мене і зацікавили, я відчув, що в них є щось загадкове, таємниче. Я справлявся з поставленим завданням дуже легко (рис.4). А зараз я вчуся в 6 класі. Нам також на уроках математики задають заповнити магічні квадрати, але вони вже набагато складніше колишніх. Тому наша вчителька пояснила нам, що існують спеціальні прийоми і способи заповнення магічних квадратів і сказала, можна самим навчитися складати такі квадрати, якщо дослідити способи їх складання. Тут я захопився серйозніше, і з цього почалися мої дослідження по складанню магічних квадратів.
Цілі і завдання дослідження:
· Познайомитися з історією появи магічних квадратів
· Дослідити способи заповнення магічних квадратів 3, 5 і 7 порядку.
· Дослідити кількість рішень для магічних квадратів 3 і 5 порядку.
для заповнення магічного квадрата існують спеціальні способи, що дозволяють це зробити швидко.
Історія появи магічних квадратів
Магічний квадрат - квадратна таблиця з цілих чисел, в якій суми чисел вздовж будь-якого рядка, будь-якого стовпця і будь-який з двох головних діагоналей дорівнюють одному і тому ж числу.
Магічний квадрат - давньокитайського походження. Згідно з легендою, за часів правління імператора Ю (бл. 2200 до н. Е.) З вод Хуанхе (Жовтої ріки) спливла священна черепаха, на панцирі якої були написані таємничі ієрогліфи (рис. 1а). Ці знаки відомі під назвою ло-шу і рівносильні магічного квадрату, зображеному на рис. 1б. У 11 столітті про магічні квадратах дізналися в Індії, а потім в Японії, де в 16 столітті магічним квадратах була присвячена велика література. Європейців з магічними квадратами познайомив в 15 столітті візантійський письменник Е. Мосхопулос. Першим квадратом, придуманим європейцем, вважається квадрат А. Дюрера (рис. 2), зображений на його знаменитій гравюрі Меланхолія 1 (рис.3). Дата створення гравюри (1514) вказана числами, що стоять в двох центральних клітинах нижнього рядка. Магічним квадратах приписували різні містичні властивості. У 16 ст. побудував квадрати 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го та 9-го порядків, які були пов'язані з астрологією 7 планет. Існувало повір'я, що вигравіруваний на сріблі магічний квадрат захищає від чуми. Навіть сьогодні серед атрибутів європейських віщунів можна побачити магічні квадрати. У 19 і 20 ст. інтерес до магічних квадратах спалахнув з новою силою. Їх стали досліджувати за допомогою методів вищої алгебри.
Дослідження способів заповнення магічних квадратів
«У дні моєї юності я
що становив ... магічні квадрати »
Складання магічних, або чарівних, квадратів - старовинний і ще зараз дуже поширеним видом математичних розваг. Завдання полягає в знаходженні такого розташування послідовних чисел (починаючи з 1) по клітинам розграфленого квадрата, щоб суми чисел у всіх рядках, стовпцях і по обох діагоналях квадрата були однакові.
Найменший магічний квадрат - 9-клітинний; легко переконатися випробуванням, що магічний квадрат з чотирьох клітин існувати не може. Зразок 9-клітинного магічного квадрата на малюнку 5.
Складемо ми в цьому квадраті числа 4 + 3 + 8, або 2 + 7 + 6, або 3 + 5 + 7, або 4 + 5 + 6, або будь-який інший ряд з трьох чисел, ми у всіх випадках отримаємо одну і ту ж суму 15. Підсумок цей може передбачити, чи не складаючи ще самого квадрата: три рядки квадрата - верхня, середня і нижня - повинні укладати всі його 9 чисел, що становлять в сумі
З іншого боку, сума ця повинна бути дорівнює, очевидно, потроєному підсумку одного рядка. Звідси для кожного рядка маємо підсумок:
Подібним же чином можна заздалегідь визначити суму чисел рядка або стовпця будь-якого магічного квадрата, що складається з будь-якого числа клітин. Для цього потрібно суму всіх чисел квадрата розділити на число його рядків.
Повороти і відображення.
Склавши один магічний квадрат, легко отримати його видозміни, тобто знайти ряд нових магічних квадратів. Якщо, наприклад, ми склали квадрат, то повернувши його подумки на чверть повного обороту (на 900), отримаємо інший магічний квадрат: рис.5.
Подальші повороти - на 1800 (половину повного обороту) і на 2700 (три чверті повного обороту) - дадуть ще два видозміни початкового квадрата (рис.6).
Кожен з знову отриманих магічних квадратів можна, в свою чергу, видозмінити, якщо уявити собі, що він як би відображений в дзеркалі. На малюнку 5 показаний початковий квадрат і одне з його дзеркальних відображень (рис.7).
Проробивши з 9 клітинним квадратом всі повороти і відображення, отримуємо такі його видозміни (рис. 8).
Це повний набір всіх магічних квадратів, які взагалі можуть бути складені з перших дев'яти чисел.
Старовинний прийом складання непарних магічних квадратів, тобто квадратів з будь-якого непарного числа клітин: 3х3, 5х5, 7х7 і т. П. Прийом цей запропонований в XVII столітті французьким математиком БАШЕЄВ. Так як спосіб БАШЕЄВ придатний і для 9 клітинного квадрата, то зручніше за все почати дослідження способу саме з цього прикладу. Отже, приступимо до складання 9- клітинного магічного квадрата за способом БАШЕЄВ.
Накресливши квадрат, розграфлений на дев'ять клітин, пишемо по порядку числа від 1 до 9, розташовуючи їх косими рядами по три в ряд, як показано на малюнку 9.
Числа, які стоять поза квадрата, вписуємо всередину його так, щоб вони приєдналися до протилежним сторонам квадрата (залишаючись в тих же шпальтах або рядках, що і раніше). В результаті отримуємо квадрат (рис.10).
Застосуємо правило БАШЕЄВ до складання квадрата з 5х5 клітин. Квадрат складається з 25 клітин. Сума всіх 25 чисел дорівнює 325. Тепер 325 розділити на кількість рядків (325: 5 = 65), отримаємо 65, т. Е. Сума чисел з будь-якого напрямку квадрата повинна дорівнювати 65. Починаємо з розташування чисел (рис.11).
Залишається тільки числа, які опинилися за рамками квадрата, ввести всередину його. Для цього потрібно фігури, утворені числами, що стоять поза квадрата ( «тераси»), подумки всунути в квадрат так, щоб ці фігури примкнули до протилежним сторонам квадрата. Вийде магічний 25- клітинний квадрат (рис. 12).
Склавши один магічний квадрат з 25 клітин, шляхом поворотів і відображень можна отримати його видозміни.
Спосіб БАШЕЄВ, або, як його інакше називають, «спосіб терас», - не єдиний для складання квадратів з непарним числом клітин. З інших існуючих способів порівняно нескладний вельми древній прийом, придуманий в Індії ще до початку нашого літочислення. Його можна викласти коротко в шести правилах. Приклад магічного квадрата з 49 клітин (рис. 13).
1. У середині верхнього рядка пишуть 1, а в самому низу сусіднього справа стовпчика - 2.
2. Наступні числа пишуться по порядку в діагональному напрямку вправо вгору.
3. Дійшовши до правого краю квадрата, переходячи до крайньої лівої клітці найближчій вищерозміщеної рядки.
4. Дійшовши до верхнього краю квадрата, переходять до найнижчої клітці сусіднього справа стовпчика.
Примітка. Дійшовши до правої верхньої кутовий клітини, переходять до лівої нижньої.
5. Дійшовши до вже зайнятої клітини, переходять до клітки, що лежить безпосередньо під останнього заповненого кліткою.
6. Якщо остання заповнена клітина знаходиться в нижньому ряду квадрата, переходять до самої верхньої клітці в тому ж стовпці.
Керуючись цими правилами, можна швидко складати магічні квадрати з будь-яким непарним числом клітин.
Якщо чисто клітин не ділиться на 3, можна починати складання магічного квадрата не по правилу 1, а по іншим правилом.
Одиницю можна написати в будь-якій клітині діагонального ряду, що йде від середньої клітини крайнього лівого стовпця до середньої клітці самої верхньої рядки квадрата. Усі наступні числа вписуються згідно з правилами 2 - 5.
Це дає можливість скласти по індійському способу не один, а кілька квадратів.
Я склав наступний магічний квадрат з 49 клітин по індійському способу (рис. 14).
Дослідження кількості рішень магічних квадратів.
Вивчаючи способи складання магічних квадратів і відповідну літературу, я встановив факт, що зі збільшенням розмірів квадрата швидко зростає кількість можливих магічних квадратів. Так, наприклад, для 3 порядку - єдиний, для 4 порядку - 880, для 5 порядку - наближається до чверті мільйона.
Висновок: проводячи дослідження, я переконався, що універсального способу заповнення магічних квадратів немає. Спосіб заповнення магічного квадрата, залежить від його порядку.
1. За сторінками підручника математики. Москва. Просвітництво. 1989 р
2. Енциклопедичний словник юного математика. М., «Педагогіка»,
2. «Цікаві завдання й досвіди». М. «Дитяча
література », 1972 р