Навчальне додаток з чисельних методів наближення функції

Метод найменших квадратів

Основним недоліком інтерполяційних многочленів є наявність у них великої кількості екстремумів і точок перегинів, що визначається підсумовуванням в них многочленів, n раз змінюють свій знак. Крім того, вихідні табличні значення функції задані неточно з різних причин, тому будувати многочлени вище 4-5-го ступеня, знаючи, що з теоретичних досліджень функція в інтервалі таблиці зовсім не така, не має особливого сенсу.

Якщо табличні значення функції можна інтерпретувати як теоретичне значення плюс похибка, то, задавши певний критерій близькості теоретичної кривої до заданій множині табличних точок, можна знайти потрібне число параметрів цієї кривої.

Найбільш популярним критерієм близькості є мінімум середнього квадрата відхилення:

де - точка експериментальних даних з таблиці,

- значення шуканої залежності в точці.

Якщо шукану залежність бажано представити многочленом ступеня. то коефіцієнт в ньому представлятимуть невідомі параметри. Підставивши в суму квадратів відхилень шуканий многочлен, отримаємо функціонал, що залежить від цих параметрів:

Щоб функціонал був мінімальний, необхідно всі приватні похідні функціоналу за параметрами прирівняти нулю і систему дозволити щодо невідомих параметрів. Ці дії призводять до наступної системи лінійних рівнянь

Тут - постійний коефіцієнт, що дорівнює сумі -тих ступенів всіх значень аргументів. Для їх ручного обчислення зручно до вихідної таблиці даних додати ще стовпців. - числові значення в правій частині системи лінійних алгебраїчних рівнянь, для підрахунку яких теж зручно до вихідної таблиці даних додати ще стовпців.

Демонстрацію методу найменших квадратів проведемо для даних з кількістю точок в таблиці, рівним 4. Максимальна ступінь аппроксимирующего многочлена для такого набору дорівнює 3, так як має виконуватися співвідношення:. Для максимально аппроксимирующий і інтерполяційний многочлен рівні.

Нехай таблиця даних після додавання в неї додаткових колонок виглядає наступним чином:

У нижньому рядку розміщуємо підсумкові суми по кожному стовпчику.

Система рівнянь для полінома третього ступеня:

Вирішивши систему, знайдемо:

Ця ж таблиця без додавання чого-небудь дозволяє знайти коефіцієнти аппроксимирующего многочлена другого ступеня. Для цього достатньо в системі для полінома третього ступеня прибрати 4-е рівняння, а з інших рівнянь виключити складові з невідомою. В результаті система рівнянь для полінома другого ступеня буде:

Вирішивши систему, знайдемо:

Аналогічно можна зменшувати число рівнянь для побудови апроксимуючих багаточленів першої і нульовий ступенів [13, 30, 32 33, 44].