Нечітке (або розмите, розпливчасте, туманне, пухнасте) безліч - поняття, введене Лотфі Заде в 1965 р в статті «Fuzzy Sets» (нечіткі множини) в журналі Information and Control [1]. Л. Заде розширив класичне канторовской поняття безлічі. допустивши, що характеристична функція (функція приналежності елемента безлічі) може приймати будь-які значення в інтервалі [0,1]. а не тільки значення 0 або 1.
визначення
Під нечітким безліччю розуміється сукупність
,
де - універсальна множина, а - функція приналежності (характеристична функція), що характеризує ступінь приналежності елемента нечітких множин.
Функція приймає значення в деякій цілком впорядкованій множині. Безліч називають безліччю приладдя. часто в якості вибирається відрізок. Якщо, то нечітке безліч може розглядатися як звичайне, чітке безліч.
Основні визначення
Нехай нечітке безліч з елементами з універсальної множини і безліччю приладдя. тоді
- Носієм (супортом) нечіткого безлічі називається безліч.
- Величина називається висотою нечіткого безлічі. Нечітке безліч нормально. якщо його висота дорівнює. Якщо висота строго менше, нечітке безліч називається субнормальний.
- Нечітке безліч порожньо, якщо. Непорожнє субнормального нечітке безліч можна нормалізувати за формулою:
- Нечітке безліч унімодальне. якщо тільки на одному з.
- Елементи, для яких, називаються точками переходу нечіткого безлічі.
Порівняння нечітких множин
Нехай A і B нечіткі множини, задані на універсальній множині X.
- Aсодержітся в B. якщо для будь-якого елемента з X функція його приналежності безлічі A буде приймати значення менше або рівне, ніж функція приналежності безлічі B:
- У разі, якщо умова виконується не для всіх, кажуть про ступінь включення нечіткого безлічі A в B. яке визначається так:
- Два безлічі називаються рівними. якщо вони містяться один в одному:
- У разі, якщо значення функцій приналежності і майже рівні між собою, говорять про ступінь рівності нечітких множин A і B. наприклад, у вигляді
Властивості нечітких множин
- α-розрізом нечіткого безлічі, що позначається як, називається наступне чітке безліч:
тобто безліч, яке визначається наступній характеристичної функцією (функцією приналежності):
Для α-розрізу нечіткого безлічі істинна імплікація
- Нечітке безліч є опуклим тоді і тільки тоді, коли виконується умова
- Нечітке безліч є увігнутим тоді і тільки тоді, коли виконується умова
Операції над нечіткими множинами
- Перетином нечітких множин A і B називається найбільше нечітке підмножина, що міститься одночасно в A і B:
- Твором нечітких множин A і B називається нечітке підмножина з функцією приналежності:
- Об'єднанням нечітких множин A і B називається найменше нечітке підмножина, що містить одночасно A і B:
- Сумою нечітких множин A і B називається нечітке підмножина з функцією приналежності:
- Запереченням безлічі при називається безліч з функцією приналежності:
Альтернативне уявлення операцій над нечіткими множинами
перетин
У загальному вигляді операція перетину нечітких множин определеляется наступним чином
де функція T - це так називаетмая T-норма. Нижче наведені окремі приклади реалізації T-норми:
об'єднання
У загальному випадку операція об'єднання нечітких множин определеляется наступним чином
де функція S - S-норма (T-конорма). Нижче наведені окремі приклади реалізації S-норми:
Зв'язок з теорією ймовірностей
Теорія нечітких множин в певному сенсі зводиться до теорії випадкових множин і тим самим до теорії ймовірностей. Послідовність теорем, що описують це зведення, дана в монографіях [2, 3, 4]. Основна ідея полягає в тому, що значення функції приналежності можна розглядати як ймовірність накриття елемента деяким випадковим безліччю.
Однак при практичному застосуванні апарат теорії нечітких множин зазвичай використовується самостійно, виступаючи конкурентом до апарату теорії ймовірностей і прикладної статистики.
література
Дивитися що таке "Нечітке безліч" в інших словниках:
нечітка множина - безліч з нечіткими межами, коли перехід від приналежності елементів безлічі до непри надлежности численности відбувається поступово, не різко. У класичній логіці елемент х з відповідної предметної області належить або не ... ... Словник термінів логіки
Нечітке, розмите безліч - [fuzzy set] безліч М. для якого визначено так званий функціонал приналежності μ: M → [0,1], що означає: чим ближче значення μ (x) до 1, тим в більшій мірі елемент х належить рас --сматріваемому безлічі, тобто . ... ... Економіко-математичний словник
нечітке, розмите безліч - Безліч М. для якого визначено так званий функціонал приналежності. M. [0,1], що означає: чим ближче значення? (X) до 1, тим в більшій мірі елемент х належить розглянутого безлічі, тобто . Останні роки ... ... Довідник технічного перекладача
Безліч - [set] одне з основних понять сучасної математики, «довільна сукупність певних і помітних об'єктів, об'єднаних подумки в єдине ціле». (Так визначав безліч засновник теорії множин, відомий німецький ... ... Економіко-математичний словник
Характеристична функція (нечітка логіка) - Функція приналежності нечіткого безлічі це узагальнення індикаторного (або характеристичною) функції класичного безлічі. У нечіткої логіки вона представляє ступінь приналежності кожного члена простору міркування до даного нечіткого ... ... Вікіпедія
типологія - (від грец. tipos відбиток, форма) 1) вчення про класифікацію, впорядкування і систематизації складних об'єктів, в основі яких лежать поняття про нечітких множинах і про тип; 2) вчення про класифікацію складних об'єктів, пов'язаних між собою ... ... Словник термінів логіки
АВТОМАТ - керуюча система, що є автоматом кінцевим або деякої його модифікацією, отриманої шляхом зміни компонент або функціонування. Основне поняття кінцевий А. виникло в середині 20 ст. в зв'язку зі спробами описати на математичному ... ... Математична енциклопедія
- Дискретна математика для бакалавра. Безлічі, відносини, функції, графи. С. В. МІКОН. Визначається безліч, його види (чітка, нечітке та мультімножество) і способи їх завдання. Встановлюється зв'язок між прямим (декартових) твором множин, бінарним і функціональним ... Детальніше Купити за 632 грн (тільки Україна)