Монотонна функція - це функція, змінна в одному і тому ж напрямку.
Функція зростає. якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Інакше кажучи, якщо при зростанні значення x значення y теж зростає, то це зростаюча функція.
Функція убуває. якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Інакше кажучи, якщо при зростанні значення x значення y убуває, то це спадна функція.
Якщо функція зростає або убуває на деякому проміжку, то вона називається монотонної на цьому проміжку.
Функція постійна (немонотонна), якщо вона не убуває і не зростає.
Теорема (необхідна ознака монотонності):
1. Якщо диференційована функція f (x) в деякому інтервалі зростає, то її похідна на цьому інтервалі неотрицательна, тобто.
2. Якщо диференційована функція f (x) в деякому інтервалі убуває, то її похідна на цьому інтервалі непозитивним,.
3. Якщо функція не змінюється, то її похідна дорівнює нулю, тобто .
Теорема (достатня ознака монотонності):
Нехай f (x) неперервна на інтервалі (a; b) і має похідну в усіх точках, тоді:
1. Якщо всередині (a; b) позитивна, то f (x) зростає.
2. Якщо всередині (a; b) негативна, то f (x) убуває.
3. Якщо. то f (x) постійна.
Дослідження функції на екстремуми.
Екстремум - максимальне або мінімальне значення функції на заданій множині. Точка, в якій досягається екстремум називається точкою екстремуму. Відповідно, якщо досягається мінімум - точка екстремуму називається точкою мінімуму, а якщо максимум - точкою максимуму.
1. Знайдіть область визначення функції і інтервали, на яких функція неперервна.
2. Знайдіть похідну.
3. Знайдіть критичні точки, тобто точки в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.
4. У кожному з інтервалів на які область визначення розбивається критичними точками, визначити знак похідної та характер зміни функції.
5. Щодо кожної критичної точки визначити, чи є вона точної максимуму, мінімуму або не є точкою екстремуму.
Записати результат дослідження функції проміжки монотонності і екстремуму.
Найбільше і найменше значення функції.
Схема знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку.
1. Знайти похідну.
2. Знайти на даному відрізку критичні точки.
3. Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка.
4. З обчислених значень вибрати найменше та найбільше.
Опуклість і увігнутість функції.
Дуга називається опуклою, якщо вона перетинається з будь-якою своєю січною не більше, ніж в двох точках.
Лінії, утворені опуклістю вгору, називаються опуклими, а утворені опуклістю вниз - увігнутими.
Геометрично ясно, що опукла дуга лежить під будь-який своєю дотичній, а увігнута дуга - над дотичній.
Точки перегину функції.
Точкою перегину називається така точка лінії, яка відділяє опуклу дугу від увігнутої.
У точці перегину дотична перетинає лінію, в околиці цієї точки лінія лежить по обидва боки від дотичній.
Інтервалу убування першої похідної відповідає ділянку опуклості графіка функції, а інтервалу зростання - ділянку угнутості.
Теорема (про точках перегину):
Якщо друга похідна всюди в інтервалі негативна, то дуга лінії y = f (x), що відповідає цьому інтервалу, опукла. Якщо друга похідна всюди в інтервалі позитивна, то дуга лінії y = f (x), що відповідає цьому інтервалу, увігнута.
Необхідна ознака точки перегину:
Якщо - абсциса точки перегину, то коли. або не існує.
Достатній ознака точки перегину:
Точка є точка перегину лінії y = f (x), якщо. а;
При зліва від неї лежить ділянку опуклості, праворуч - ділянка угнутості, а при зліва лежить ділянку угнутості, а праворуч - опуклості.
Асимптотой графіка функції називається пряма, що володіє тим властивістю, що відстань від точки графіка функції до цієї прямої прямує до нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.
1. Пряма називається вертикальною асимптотой графіка функції y = f (x), якщо хоча б одна з прямих значень або дорівнює або.
Пряма не може бути вертикальної асимптотой, якщо функція неперервна в точці. Тому вертикальні асимптоти слід шукати в точках розриву функції.
2. Пряма називається горизонтальною асимптотой графіка функції y = f (x), якщо хоча б одне з граничних значень або дорівнює.
Графік функції може мати тільки праву горизонтальну асимптоти або тільки ліву.
3. Пряма називається похилою асимптотой графіка функції y = f (x), якщо