Перший чудовий предел-
lim sinx / x = 1 або lim x / sinx = 1. З огляду на що cos0 = 1 маємо також що lim tgx / x = 1 або lim x / tgx = 1
другий чудовий предел-
lim (1 + 1 / x) x = e або lim (1 + x) 1 / x = e
Приклади: a) lim sin4x / x = (0/0) = lim sin4x / 4x * 4 = 1 * 4, т.к. lim sin4x / 4x = 1
б) lim sin6x / sin4x- (0/0) = lim sin6x / 6x * 6x * 4x / sin4x * 1 / 4x = 6/4 = 3/2 тому lim sin6x / 6x = 1, lim4x / sin4x = 1
в) lim (1 + 3x) 1 / x = lim (1 + 3x) 1 / 3x * 3 = e 3 тому lim (1 + 3x) 1 / 3x = e
г) lim (3x-1 / 3x + 1) 3 x = (1 нескінченність) = lim ((3x + 1) -2 / 3x + 1) 3 x = lim (1 + (- 2) / 3x + 1) 3 x = lim (1 + 9-2) / 3x + 1) 3 x + 1 / -2 * -2/3 x +1 * 3 = e lim -6 x / 3 x +1 = e -2
перший чудовий межа функції
приклад: lim sin6x / x = lim 6 * sin6x / 6x = 6 * 1 = 6 (тому що sin6x / 6x = 1)
другий чудовий межа функції:
Приклад: lim (1 + 5x) 7 / x = (1 нескінченність) = (1 + 5х / 1) 7 / х = (1 + 5х / 1) 1 / 5х * 5х / 1 * 7 / х = e 35 ( тому що (1 + 5х / 1) 1 / 5х = е)
4Непреривность функції в точці і на проміжку. Точки розриву функції та їх класифікація.
Неперервність функції в точці
1) Функція у = f (х) називається безперервної в точці хо. якщо виконані наступні три умови: 1) функція визначена в точці хо і її околиці. 2) існує кінцевий межа функції в точці хо. 3) ця межа дорівнює значенню функції в точці хо. тобто lim f (x) = f (x0)
2) Функція у = f (х) називається безперервної в точці хо. якщо виконані наступні умови: 1) функція визначена в точці хо і її околиці. 2) існують кінцеві односторонні межі lim f (x) = f (x0 -0) і lim f (x) = f (x0 +0). 3) ці межі рівні між собою і дорівнюють значенню функції в точці х0. тобто lim f (x) -lim f (x) = f (x0)
3) Функція у = f (х) називається безперервної в точці хо. якщо виконані наступні три умови: 1) функція визначена в точці хо і її окрестності.2) нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції: lim y = lim (f (x0 + x) -f (x0)) = 0
Якщо функції f (x) і g (x) неперервні в точці хо. то функції f (x) + - g (x), c * f (x) (з-постійна), f (x) * g (x) і f (x) / g (x) (за умови що g ( x0) НЕ = 0) також неперервна в точці хо
Якщо функція u = q (x) неперервна в точці хо. а функція у = f (u) неперервна в точці u0 = q (x0), то складна функція у = f (q (x)) неперервна в точці хо
Непреривнасть функції на відрізку
Функція у = f (x) наз-ся безперервної на відрізку [a; b]. якщо вона неперервна в кожній точці цього відрізка (в точці а неперервна справа, тобто lim f (x) = f (a), а в точці b неперервна зліва, тобто lim f (x) = f (b ))
Властивості функцій, неперервних на відрізку:
1.если функція y = f (x) неперервна на відрізку [a, b], то вона обмежена на цьому відрізку (перша теорема Вейєрштрасса)
2.Якщо функція y = f (x) неперервна на відрізку [a, b], то на цьому відрізку вона досягає досягає свого найменшого значення m і найбільшого значення М (друга теорема Вейєрштрасса)
3.Якщо функція y = f (x) неперервна на відрізку [a, b] і на його кінцях приймає значення різних знаків то всередині відрізка існує хоча б одна точка така що функція = 0 (теорема Больцано-Коші)
Точки розриву функції та їх класифікація: точки в яких умова безперервності не виконується, називаються точками розриву цієї функції. Якщо хо-точка розриву функції y = f (x) то в ній не виконується хоча б одна з трьох умов неперервності функції.
Класифікація: 1) точка хо наз-ся точкою розриву першого роду функції y = f (x). якщо в цій точці існують кінцеві межі f (x0 -0) і f (x0 +0), але вони не рівні між собою f (x0 -0) НЕ = f (x0 +0). Величина | f (x0 +0) -f (x0 -0) | називається при цьому стрибком функції y = f (x) в точці х0.
2) Точка х0 називається точкою усувного розриву функції y = f (x), якщо в цій точці існують кінцеві межі f (x0 -0) і f (x0 +0), вони рівні між собою: f (x0 -0) = f (x0 +0) але сама функція y = f (x) не визначена в точці х0 або визначена але f (x0 -0) = f (x0 +0) НЕ = f (x0)
3) Точка х0 називається точкою розриву другого роду функції y = f (x) якщо в цій точці хоча б один з односторонніх меж (f (x0 -0) НЕ = f (x0 +0)) не існує або дорівнює нескінченності.