Обчислювальні методи лінійної алгебри включають в себе вирішення наступних завдань:
1) Рішення систем лінійних алгебраїчних уравне-ний (СЛАР).
2) Обчислення визначників квадратної матриці А.
3) Для даної квадратної матриці А обчислення обрат-ної А -1.
4) Визначення власних значень і власних векторів квадратної матриці А.
При вирішенні багатьох прикладних задач вельми корисним є поняття норми векторів і норми матриць.
Визначення 3 .1. Нормою вектора називається невід'ємне число, яке позначається символом || || і задовольняє таким умовам:
Норму вектора можна ввести різними способами. Найбільш часто для векторів n мірного арифметичного простору
(Називається сферичною, породжена скалярним твором і визначає довжину вектора).
Норма (3.3) породжена скалярним твором яке виражається формулою:.
Для скалярного твори векторів справедливі співвідношення:
Якщо A симетрична матриця, то =.
Визначення 3. 2. Якщо в просторі векторів введена норма || ||, то узгодженої з нею нормою в просторі матриць називають норму
Узгоджені з нормами векторів (3.1) - (3.3) норми матриць визначаються формулами
У формулі (3.7) - власні значення матриці A T A. яка є симетричною.
Формула (3.7) випливає з того, що для симетричної матриці B можна довести справедливість співвідношення:
де li - власні значення матриці B.
Визначення 3 .4. Будемо говорити, що послідовність векторів сходиться до вектору за цією нормою || ||, якщо виконується співвідношення = 0.
З еквівалентності норм || || 1. || || 2 і || || 3 випливає, що якщо послідовність векторів сходиться по одній з цих норм, то вона сходиться і по іншим нормам.
Домовимося надалі під нормою || || мати на увазі одну із зазначених вище норм, а при необхідності конкретизувати, яку саме.
При цьому під нормою матриці будемо розуміти норму, узгоджену з нормою матриці.
Теоретичні умови існування і єдино-сти рішення систем лінійних рівнянь відомі - головний визначник не повинен дорівнювати нулю. Тог-да рішення можна знайти за правилом Крамера, або мето-дом виключення невідомих Гаусса. Метод Гаусса і правило Крамера відносяться до прямих методів вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Вони позво-ляють за кінцеве число дій отримати точне реше-ня системи, за умови, що всі дії виконують-ся точно, без округлення. Але на практиці, при великих порядках системи, правило Крамера вимагає занадто багато часу для обчислення визначників. Якщо оп-ределітелі обчислювати формально за визначенням як суму п! Доданків, то число операцій має порядок п! П .Право Крамера використовується частіше для теоретічес-ких досліджень, а на практиці майже не застосовується.
Метод виключення невідомих Гаусса для вирішення систем лінійних рівнянь більш ефективний, ніж пра-вило Крамера. Більш того, він також ефективний при ви-чисельність визначника і оберненої матриці.
При великому числі невідомих іноді виявляється, що вигідніше вирішувати систему рівнянь методом Ітера-ций, який дає наближене рішення системи.