Обгрунтування статистичних рішень при фіксованих експериментах
Часто зустрічаються ситуації, коли на вибір рішення істотний вплив роблять фактори, інформація про яких відсутня або є недостатньо повною. Обгрунтування рішень в цих умовах виявляється досить ефективним за допомогою статистичних рішень.
Сутність завдань статистичних рішень полягає в тому, що потрібно зробити вибір з безлічі дій, ефективність кожного з яких залежить від того, яке з станів "природи" має місце. Тому кожна пара, що складається з дії і стану "природи", маючи той чи інший результат. характеризується значенням критерію ефективності. Останнє призводить до матриці (таблиця 11.1), на підставі якої потрібно вибрати дію, що є оптимальним згідно деяким критерієм. Подібна матриця являє стохастическую модель конфліктної ситуації, в якій одним з противників є "природа" (обстановка бойових дій, - Абчук В.А. Ємельянов Л.А. Матвейчук Ф.А. Суздаль В.Г. Введення в теорію вироблення рішень. М . Військове видавництво, 1972.). Зазвичай в теорії статистичних рішень оперують з критерієм ефективності, що характеризує ті чи інші втрати. Тому що отримується матрицю називають матрицею втрат.
Таблиця 11.1. матриця втрат
Очевидно, якщо ймовірності станів "природи" відомі і дорівнюють відповідно, де, то за критерій можна прийняти середню (очікувану) ефективність дії. Тоді вибирається дію, яке мінімізує даний критерій, і приймається. що ця дія є оптимальним при даному апріорно розподілі ймовірностей.
Так, якщо в розглянутому прикладі всі стани різновірогідні, то слід вибрати дію (район №2), оскільки в цьому випадку середня ефективність буде дорівнює, тоді як при виборі (району №1) або (району №3) вона складе відповідно.
Таким чином, допущення апріорного розподілу ймовірностей дає досить простий метод вибору оптимального рішення. Однак на практиці дійсний розподіл ймовірностей станів "природи", як правило, невідомо. У зв'язку з цим доцільно поставити експеримент для оцінки стану "природи".
Припустимо, що в розглянутому прикладі таким експериментом є вимір атмосферного тиску.
Нехай - безліч можливих результатів, і відома ймовірність кожного результату для кожного істинного стану природи. Припустимо і приймемо значення ймовірності, що дорівнює приведеним в таблиці 11.3.
Таблиця 11.3. Ймовірності показань барометра в залежності від істинного стану природи
Матриця середніх втрат (табл. 11.5) являє собою модель конфліктної ситуації при фіксованих експериментах. У зв'язку з цим первинне завдання статичного рішення модифікується, зводячись до вибору однієї із стратегій для станів "природи".
Припустимо тепер, що дані апріорні ймовірності станів "природи". Після постановки експерименту, результат якого залежить від істинного стану "природи", значення ймовірностей станів змінюються і за формулою Байеса дорівнюватимуть
де - апостериорная ймовірність стану;
- ймовірність результату для істинного стану.
Якщо тепер прийняти, що і, то апостеріорні ймовірності станів приймуть значення, наведені в таблиці 11.7.
Таблиця 11.7. Апостеріорні ймовірності станів "природи"
В результаті приходимо до первісної задачі оптимального вибору дії, коли ймовірності станів "природи" відомі і рівні.
На підставі цього можна визначити середні втрати для дії з урахуванням експерименту по формулі