Рукопис ал-Караджі під назвою «Книга про алгебри і алмукабали, відома як ал-Фахрі» (ілюстрація AIM).
Сформульована понад тисячу років тому математична проблема тепер знайшла рішення. Математики з США, Європи, Австралії та Південної Америки склали повний список конгруентних чисел (Congruent number), що лежать в діапазоні від нуля до одного трильйона. Отримана вченими послідовність настільки велика, що якщо цей ряд цифр записати від руки в рядок, він простягнеться до Місяця і назад.
Сама задача полягає в обчисленні натурального числа, здатного складати площа прямокутного трикутника, сторони якого представлені вираженими раціональними числами. Значення площі такого трикутника і називається конгруентним. Найменша відоме конгруентне число - 5 (довжини сторін відповідного йому трикутника - 3/2, 20/3 і 41/6). Потім слідують 6, 7, 13, 14, 15, 20 і так далі.
Існує просте правило: якщо число s конгруентно, то конгруентним буде і число s # xD7; n 2. де n - натуральне. Таким чином, основна складність тут - це саме пошук нових конгруентних чисел, вільних від квадратів.
Площа прямокутного трикутника зі сторонами 3-4-5 дорівнює 6, отже, 6 - конгруентне число (ілюстрація AIM).
Для того щоб забезпечити точність результатів, вчені одночасно проводили обчислення на двох потужних комп'ютерах, використовуючи різні алгоритми. Об'єм оперативної пам'яті в обох випадках становив 128 Гб. Цього виявилося недостатньо для оперування отримує в процесі гігантськими числами, і фахівцям довелося активно використовувати дискову підсистему.
В результаті вчені склали список з 3 148 379 694 конгруентних чисел, найбільше з яких не перевищує трильйона. За деякими оцінками, в проміжку від трильйона до квадрильйона (10 15) має міститися ще близько 800 мільярдів конгруентних чисел. Найближчим часом перевірити це не вийде зі зрозумілих технічних обмежень.
Вважається, що одним з перших конгруентними числами зацікавився перський математик X століття ал-Караджі (Al-Karaji). У його обчисленнях трикутники не фігурували зовсім, а розрахунки базувалися в основному на квадратах чисел - як цілих (1, 4, 9), так і раціональних (25/9, 49/100).
У 1225 році великий Фібоначчі (Fibonacci) встановив, що числа 5 і 7 конгруентний, і припустив, що число 1, навпаки, таким не є. Тільки в 1659-му це твердження було доведено П'єром Ферма (Pierre de Fermat). До 1915 року всі неконгруентні числа в межах 100 були знайдені. Однак щоб підкреслити значення нинішнього відкриття, слід зазначити, що навіть у межах 1000 деякі неясності зберігалися ще в 1980 році!
Строго довести істинність самого критерію, однак, нікому поки не вдалося. Можливий доказ тісно пов'язане з однією з відкритих проблем сучасної математики - гіпотезою Берча і Свіннертона-Дайера (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture), за вирішення якої призначена нагорода в мільйон доларів.