1. Поняття спрямляются кривої і її довжини
Нехай крива L задана параметрично L.. a £ t £ b. де j (t), y (t) неперервні на [a; b]. Візьмемо довільне розбиття Т відрізка [a; b] на відрізки. . так що .
Точках розбиття відрізка [a; b] відповідають точки кривої, тобто точки з координатами Отримані точки з'єднаємо відрізками і отримаємо ламану з вершинами в точках. Цю ламану будемо називати вписаною в криву L. яка відповідає певному розбиття Т. Довжина ланки ламаної дорівнює. тому довжина ламаної
Зауважимо, що однозначно визначається розбиттям Т. Позначимо через. .
Визначення 1. Крива L називається спрямляются. якщо існує межа суми (1) при.
При цьому число називається довжиною кривої L.
2. Обчислення довжини гладкої кривої
Лемма 1. справедливо нерівність:
1) Якщо. і нерівність очевидно.
2) якщо. то принаймні одне з чисел B або C не дорівнює 0. Тоді
Лемма 2 (властивість адитивності). Якщо спрямляются крива L точкою M0 розбита на дві криві L1 і L2. то ці криві спрямляются, і Визначення 2. Крива L називається гладкою. якщо її рівняння можна записати в параметричному вигляді. t Î[A; b], де j (t) і y (t) мають безперервні похідні j ¢ (t) і y ¢ (t), водночас не звертаються в нуль (тобто).
Визначення 3. Крива L називається кусочно-гладкою. якщо її можна розбити на кінцеве число гладких кривих.
Теорема 1. Будь-яка гладка крива L.. t Î[A; b], спрямляема і її довжина обчислюється за формулою
Візьмемо довільне розбиття Т відрізка [a; b] на відрізки і побудуємо ламану. вписану в криву L і яка відповідає певному розбиття Т. Її довжина обчислюється за формулою (1). Функції j і y на відрізку () задовольняють умовам теореми Лагранжа. отже,
Тоді з (1) слід. (3)
Якщо в рівність (3) замінити на. то отримаємо інтегральну суму для функції на [a; b]. Так як j ¢ (t) і y ¢ (t) на [a; b] безперервні, то функція неперервна на [a; b]. Але тоді
Розглянемо різницю і покажемо, що. Звідси буде випливати, що існує і дорівнює. тобто отримаємо рівність (2).
Оцінимо модуль різниці:
Застосовуючи лему, отримаємо:
Функція y ¢ (t) неперервна на [a; b], отже, вона рівномірно неперервна на цьому відрізку, значить, виконано
Нехай розбиття Т задовольняє умові. Тоді. Звідси на підставі нерівності (5) маємо:
Тоді з (4) слід.
Формулу (1) можна записати у вигляді.
Зауваження 1. Нехай гладка крива задана рівнянням. Перейдемо до параметричних рівнянь. вважаємо:
Зауваження 2. Нехай гладка крива в полярній системі координат задана рівнянням. Перейдемо до параметричного завданням: