17.3. Визначення довжини кривої. спрямляются криві
Під довжиною кривої розуміється точна верхня грань довжин вписаних в цю криву ламаних. Сформулюємо це визначення більш детально. Введемо спочатку поняття розбиття відрізка - поняття, яке буде неодноразово зустрічатися надалі.
Визначення 2. Для відрізка [a, b] будь-яка система точок ti. i = 0, 1, 2. ir. таких, що
називається його розбиттям.
Нехай задана крива
і нехай - деякий розбиття відрізка [a, b]. покладемо
т. е. - це довжина ламаної з вершинами в точках Mi. є кінцями радіус-векторів r (ti), i = 0, 1, 2. ir. інакше кажучи, ламаною, вписаною в криву Г (рис. 93).
Визначення 3. Верхня межа довжин всіляких ламаних, вписаних в цю криву, називається її завдовжки.
Таким чином, довжина Sг кривої Г визначається формулою
де верхня межа береться по всіляке розбиття відрізання [a, b]. Очевидно, 0
Теорема 1. Якщо крива Г = r (t); a
Насамперед зазначимо, що в силу безперервності на відрізку [a, b] похідною r '(t) числова функція | r' (t) | також неперервна на цьому відрізку, а отже, обмежена і приймає на ньому найбільше значення. Тому існує число <+ .
Візьмемо будь-яке розбиття відрізка [a, b]. Тоді, використовуючи очевидне векторне тотожність
і застосовуючи теорему 1 з п. 16.2, отримаємо
де ti -1
Перейшовши в цьому нерівності до верхньої межі по всіляке розбиття відрізання [a, b], отримаємо, в силу визначення (17.19), нерівність (17.20)
Тому Sг <+ , т. е. кривая Г спрямляема.
Теорема 2. Якщо крива Г = r (t) = (x (t), y (t), z (t)); a
де c - найбільше значення | r '(t) | на відрізку з кінцями в точках t і t + t. Позначимо через = (t) точку цього відрізка, в якій
Зауваження 1. Якщо довжина дуг кривої Г відраховується від її кінця, то = Sг - s і, отже,
d / ds = -1, тому
Зауваження 2. Якщо безперервно диференціюється крива Г = r (t); a
(R '(t) 0 на відрізку [a, b]), т. Е. Г - гладка крива, то в силу теореми 2 змінна довжина дуги s = s (t), яка відлічується від початку M (a) кривої Г, є строго зростаючої безперервно диференціюється функцією з похідною, позитивної у всіх точках відрізка [a, b]: s (t) = | r '(t) |> 0.
А так як s (a) = 0, s (b) = Sг. то зворотна функція t = t (s) однозначна, строго зростає, неперервно диференційовна на відрізку [0, Sг] і
Таким чином, для будь-якої гладкої кривої її параметр є суворо зростаючій безперервно диференціюється функцією змінної довжини дуги і похідна цієї функції ніде не звертається в нуль.
Отже, функція t = t (s) є допустимий перетворення параметра в сенсі п. 17.1 і, отже, на гладкій кривій в якості параметра можна взяти змінну довжину її дуг. Зі сказаного випливає також, що має сенс похідна
Вектор dr / ds тільки числовим множником dt / ds відрізняється від дотичного вектора dr / dt 0 і тому також спрямований по дотичній. Доведемо, що вектор dr / ds є одиничним вектором.
Теорема 3. Якщо на кривій Г = r (s); 0
З формули (17.24) при t = s маємо
Оскільки на гладкій кривій можна взяти за параметр довжину дуги, то формула (17.32) має місце для гладких кривих.
Роз'яснимо геометричний сенс рівності (17.32).
Відрізок, що з'єднує дві точки кривої, називається хордою. стягивающей дугу кривої з кінцями в цих точках. Нехай крива Г гладка і r (s), 0
при s 0 маємо
т. е. ставлення довжини хорди до довжини стягують нею дуги прагне до одиниці, коли s 0.
Зауваження 3. Координатами всякого одиничного вектора є його напрямні косинуси кутів, які він утворює з осями координат. Тому якщо позначити через, і кути, які утворює з координатними осями змінних x. y і z одиничний вектор dr / ds. то