Обчислення головного мінору
49. Однак кроки алгорифм § 48 можуть бути модифіковані таким чином, що він буде мати істотні переваги. Модифікований процес також має основних кроків, але на перших кроках беруть участь лише перші рядків Структура елементів після основних кроків для випадку така:
Рядок є незміненою рядком рядки з 1-ї до перетворюються способом, який стане зрозумілим із наступного опису основного кроку.
Для кожного значення від 1 до:
(I) Порівнюємо Якщо переставляємо
(Ii) Обчислюємо і записуємо на місце як. Якщо на кроці (i) мала місце перестановка, то помічаємо зірочкою.
(Iii) Для кожного значення від до:
Обчислюємо і записуємо на місце
(Iv) Обчислюємо і записуємо на місце.
Ця схема має дві переваги.
(I) Якщо ми не хочемо зберегти, т. Е. Якщо жодна з правих частина не буде оброблятися в подальшому, то максимум робочих осередків пам'яті, необхідних для реалізації даного процесу, наприклад з однією правою частиною, дорівнює
(II) З нашої точки зору більш важливим є те, що ми тепер можемо обчислити головний мінор порядку на r-му основному кроці і можемо зупинитися на цьому кроці, якщо того бажаємо, не зачіпаючи рядків від -й до -й головний мінор визначається наступним чином .
Якщо ми запам'ятовуємо поточне число перестановок до, які мали місце з початку першого основного кроку, то після виконання r-го кроку маємо:
де - відповідні значення.
Часто нам буде потрібен лише знак Він може бути отриманий таким чином на r-му основному кроці.
Припустимо, що ми знаємо знак Тоді кожен раз, коли виконується описаний вище крок ми змінюємо цей знак, якщо потрібна перестановка і мали один і той же знак. Після виконання основного кроку ми знову змінюємо знак, якщо негативно.
Мінори можуть бути обчислені і по алгорифм § 48, але метод, який ми описали, більш зручний. Взагалі кажучи, головні мінори не можуть бути обчислені, якщо ми використовуємо метод Гаусса з вибором головного елемента по стовпцю або по всій матриці, або якщо ми використовуємо тріангулярізацію Хаусхолдера.