Одинична і зворотна матриця (визначення)
Отримання зворотного матриці
Зворотна матриця. Обчислення оберненої матриці.
Обернену матрицю можна знайти за такою формулою:
. де - визначник матриці. - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці.
Поняття оберненої матриці існує тільки для квадратних матриць. матриць «два на два», «три на три» і т.д.
Позначення: Як Ви вже, напевно, помітили, зворотна матриця позначається наголосами індексом
Почнемо з найпростішого випадку - матриці «два на два». Найчастіше, звичайно, потрібно знайти зворотну матрицю для матриці «три на три», але, тим не менш, настійно рекомендую вивчити більш просте завдання, для того щоб засвоїти загальний принцип рішення.
Знайти обернену матрицю для матриці
Вирішуємо. Послідовність дій зручно розкласти по пунктах.
1) Спочатку знаходимо визначник матриці.
Важливо! У тому випадку, якщо визначник матриці дорівнює НУЛЮ - зворотної матриці НЕ ІСНУЄ.
У розглянутому прикладі, як з'ясувалося,. а значить, все в порядку.
2) Знаходимо матрицю мінорів
Для вирішення нашої задачі не обов'язково знати, що таке мінор, однак, бажано ознайомитися зі статтею Як обчислити визначник.
Матриця миноров має такі ж розміри, як і матриця. тобто в даному випадку.
Справа за малим, залишилося знайти чотири числа і поставити їх замість зірочок.
Повертаємося до нашої матриці
Спочатку розглянемо лівий верхній елемент
Як знайти його мінор?
А робиться це так: подумки викреслюємо рядок і стовпець, в якому знаходиться даний елемент:
Час, що залишився число і є мінор даного елемента. яке записуємо в нашу матрицю мінорів:
Розглядаємо наступний елемент матриці.
Подумки викреслюємо рядок і стовпець, в якому стоїть даний елемент:
Те, що залишилося, і є мінор даного елемента, який записуємо в нашу матрицю:
Аналогічно розглядаємо елементи другого рядка і знаходимо їх мінори:
Готово.
- матриця миноров відповідних елементів матриці.
3) Знаходимо матрицю алгебраїчних доповнень
Це просто. У матриці миноров потрібно ЗМІНИТИ ЗНАКИ у двох чисел:
Саме у цих чисел, які я обвів в гурток!
- матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці.
4) Знаходимо транспоновану матрицю алгебраїчних доповнень.
Що таке транспонування матриці, і з чим це їдять, дивіться в лекції Дії з матрицями.
- транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці.
Згадуємо нашу формулу
Все знайдено!
Таким чином, зворотна матриця:
13.Определітелі і їх властивості
Визначник (або детермінант) - одне з основних понять лінійної алгебри. Визначник матриці є многочленом від елементів квадратної матриці (тобто такий, у якій кількість рядків і стовпців одно). У загальному випадку матриця може бути визначена над будь-яким комутативним кільцем, в цьому випадку визначник буде елементом того ж кільця.
Визначник матриці А позначається як: det (A). | А | або # 916; (A).
Властивість 1. Визначник квадратної матриці не змінюється при її транспонировании:
Доказ властивості 1 для квадратних матриць 2 і 3 порядків проводиться за єдиною схемою. Наведемо доказ для квадратної матриці 2-го порядку. Безпосередня перевірка доводить дане властивість.
Властивість 2. Якщо один з рядків (стовпців) матриці цілком складається з нулів, то її визначник дорівнює нулю.
Властивість 3. При перестановці місцями будь-яких двох рядків (стовпців) матриці її визначник змінює знак.
Властивість 4. При множенні рядки (стовпці) матриці на число її визначник множиться на це число.
Властивість 5. Якщо кожен елемент i-го рядка (стовпчика) матриці A представлений у вигляді суми двох доданків, то визначник такої матриці дорівнює. де елементиматріц B і C, за винятком елементів i-го рядка (стовпчика), збігаються з відповідними елементами матриці A. A в i-х рядках (стовпчиках) матриць B і C стоять згадані перші і другі доданки відповідно.
Способи обчислення визначників