Обчислення висловлювань не дозволяє описувати дедуктивні міркування всіх типів, зокрема силлогистические умовиводи. Воно дуже бідно виразними засобами.
Його природним розвитком є числення предикатів. Як і числення висловів, числення предикатів є формальну систему. Ми не будемо описувати його в такій суворої формі (любителі суворості можуть знайти подібні описи в літературі до цього розділу), а спробуємо залишатися на змістовному рівні опису.
Під предикатом будемо розуміти деяку зв'язок, задану на наборі з констант або змінних, наприклад твердження «більше». Якщо семантика і не задана, то про предикате сказати особливо нічого. Мабуть, тільки те, що він задає двомісне відношення, семантика якого така, що воно є антирефлексивне (невірно, що «більше»), асиметричним і транзитивним. Але при завданні семантики (тобто областей визначення змінних і) про предикате можна буде сказати значно більше. Якщо і - площі міст відповідно в СРСР і Японії, то при завданні списків міст і означивание змінних константами ми отримаємо відношення між двома висловлюваннями типу «Площа Вологди більше площі Токіо» або «Площа Ленінграда більше площі Нари». Після цього стає можливим говорити про істинність або хибність предиката. Для нашого прикладу перших означивание дає помилкове значення предиката, а друге - справжнє. Іноді для твердження про істинність або хибність предиката можна обійтися і без означування. Наприклад, якщо областю визначення х є цілі позитивні числа, то предикат «х більше -5» буде тотожно істинний.
У численні предикатів використовуються ті ж операції, що і в обчисленні висловлювань. З їх допомогою утворюються предикатні формули. Будемо позначати предикати великими латинськими літерами. Прикладами предикатних формул можуть служити Р (х, у) Q (a, b) або P () P (z, l).
У численні предикатів використовуються два квантора: квантор спільності і квантор існування. Перший позначається як. а запис xP (x) еквівалентна твердженням «Для всіх х з області його визначення має місце Р (х)». Другий квантор позначається як. а запис хР (х) еквівалентна твердженням «Чи знайдеться принаймні один х * в області визначення х. такий, що правдивий Р (х *) ». Змінні, що знаходяться в сфері дії кванторів, називаються пов'язаними. інші змінні - вільними.
Згадаймо І.А. Крилова: «А ви, друзі, як не сідайте, все ж в музиканти не годитесь!». Позначимо через Р (х, у) предикат, який пов'язує між собою спосіб розсаджування учасників квартету і якість виконуваної ними музики. Предикат Р (х, у) стає справжнім лише тоді, коли знайдено таке взаємне розташування звірів в квартеті, що якість музики дозволяє назвати виконавців музикантами. При цих умовах цитаті з байки «Квартет» відповідає формула x P (x, у).
А ось Ф. Тютчев: «Бувають фатальні дні лютейшего тілесного недуги і страшних моральних тривог ...». Якщо Q (u, v) є предикат, в якому змінна u визначена на безлічі днів, а змінна v на області настроїв, пов'язаних з «тілесною недугою» і «страшними моральними тривогами», то в обчисленні предикатів початку вірша Тютчева буде відповідати формула uQ (u, v).
Відзначимо, що мають місце такі співвідношення:
Справедливість їх випливає зі змісту кванторів. Вони дозволяють будь-яку формулу в численні предикатів представити у вигляді попереджання нормальної форми (ПНФ). У ній спочатку виписуються всі квантори, а потім предикатні вирази. Наприклад, формула
Введення кванторів і. а також їх заперечень наводить на думку про зв'язок числення предикатів і силлогистики Аристотеля. Згадаймо ще раз сенс кванторів, використаних в силогістиці: Asp - «Будь-яке s є р»; Esp - «Жодне s не їсти р», Isp - «Деякі s є р» і Osp - «Деякі s не їсти р». Звісно ж цілком справедливим замінити ці вирази силлогистики наступними чотирма формулами обчислення предикатів:
На перший погляд така заміна цілком законна. Але для того, щоб переконатися в цьому, необхідно показати, що в численні предикатів можуть бути виведені всі модуси силлогистики Аристотеля.
Система аксіом і правила виведення в численні предикатів можуть бути задані в такий спосіб. В якості системи аксіом береться будь-яка відома система аксіом числення висловів і до неї додаються специфічні для обчислення предикатів аксіоми, наприклад, такі:
Сенс їх очевидний. Перша аксіома говорить про те, що якщо Р (х) правдивий для будь-яких х. то і для деякого у з того ж універсуму істинність предиката повинна зберігатися. Друга аксіома говорить про те, що якщо знайдеться таке у. що Р (у) буде істинним, то вірно, що існує х. для якого Р (х) істинно.
До правил виведення, використовуваним в обчисленні висловлювань, в численні предикатів додаються ще три правила.
1. Нехай F1 і F2 - дві формули обчислення предикатів. І нехай в F1 змінна х не входить, а в F2 входить в якості вільної змінної. Нехай, нарешті, формула F1F2 є виведеної. Тоді виведена і формула F1xF2.
2. Якщо х міститься в якості вільної змінної в F1 і не міститься в такому вигляді в F2 і якщо F1F2 - виведена формула, то xF1F2 також є виведеної.
3. Якщо F - виведена формула і в F є квантори спільності та існування, то будь-яка зі зв'язаних ними змінних може бути замінена на іншу пов'язану змінну одночасно у всіх областях дій квантора і в самому Квантори. Отримана після цього формула також є виведеної.
Використання такої системи аксіом і такого безлічі правил виведення дозволяє в численні предикатів з тотожно істинних формул отримувати тотожне справжні.
Повернемося тепер до спроби вкладення силогістичних тверджень в числення предикатів. Дослідження виводимості 24 модусів, вірних в силогістиці Аристотеля, в численні предикатів призвело до наступного результату. Якщо припускати, що всі класи сутностей непорожньої, тобто міркування не стосуються мислимих сутностей (наприклад, драконів чи русалок), то наведена вище заміна силогістичних виразів виразами логіки предикатів буде повністю справедлива. Іншими словами, при непустих класах сутностей все модуси силлогистики Аристотеля виводяться в численні предикатів.
Інша ситуація виникає при допущенні порожніх класів сутностей. У численні предикатів предикати з порожніми областями для аргументів поводяться зовсім не так, як такі ж предикати з непорожніми областями. У цих умовах виявляються не виводяться всі модуси силлогистики, в яких висновок носить приватний характер, а обидві посилки носять загальний характер. Наприклад, виявляються не виводяться модуси AAI і ЄАО першої фігури:
Хотілося б звернути увагу читачів на щойно отриманий результат моделювання. Навіть в області дедуктивних міркувань, що дають завжди достовірні результати, характер людських міркувань може бути різним. І він не повинен збігатися (як це показує випадок з силлогистикой) з тими схемами міркувань, які демонструє числення предикатів.