Розрахунки середньої арифметичної можуть бути громіздкими, якщо варіанти (значення ознаки) і ваги мають дуже великі або дуже малі значення і не може сам процес підрахунку. Тоді для простоти рахунку використовується ряд властивостей середньої арифметичної:
1) якщо зменшити (збільшити) всі варіанти на будь-яке довільне число А. то нова середня зменшиться (збільшиться) на те ж число А. т. Е. Зміниться на ± А;
2) якщо зменшити всі варіанти (значення ознаки) в однакове число раз (К), то середня зменшиться в стільки ж разів, а при збільшенні в (К) разів - збільшиться в (К) разів;
3) якщо зменшити або збільшити ваги (частоти) всіх варіант на будь-яке постійне число А. то середня арифметична не зміниться;
4) сума відхилень всіх варіант від загальної середньої дорівнює нулю.
Перераховані властивості середньої арифметичної дозволяють в разі потреби спрощувати розрахунки шляхом заміни абсолютних частот відносними, зменшувати варіанти (значення ознаки) на будь-яке число А. скорочувати їх в До раз і розраховувати середню арифметичну з зменшених варіант, а потім переходити до середньої початкового ряду.
Спосіб обчислення середньої арифметичної з використанням її властивостей відомий в статистиці як «спосіб умовного нуля». або «умовної середньої». або як «спосіб моментів».
Коротко цей спосіб можна записати у вигляді формули
.
Якщо зменшену версію (значення ознаки), позначити через. то наведену вище формулу можна переписати у вигляді.
При використанні формули для спрощення обчислення середньої арифметичної зваженої інтервального ряду при визначенні величини будь-якого числа А використовують такі прийоми його визначення.
Величина А дорівнює величині:
1) першого значення середньої величини інтервалу (продовжимо на прикладі завдання, де млн дол. А.
Розрахунок середньої з зменшених варіант
Середнє значення інтервалу
,
;
2) величину А беремо дорівнює величині середнього значення інтервалу з найбільшою частотою повторень, в даному випадку А = 3,5 при (f = 30), або значення серединної варіанти, або найбільшою варіанти (в даному випадку найбільше значення ознаки Х = 6,5 ) і поділений на розмір інтервалу (в даному прикладі 1).
Розрахунок середньої при А = 3,5, f = 30, К = 1 на тому ж прикладі.
Розрахунок середньої способом моментів
; ; ;
Спосіб моментів, умовного нуля або умовної середньої полягає в тому, що при скороченому способі розрахунку середньої арифметичної ми вибираємо такий момент, щоб в новому ряду однієї з значень ознаки. т. е. прирівнюємо і звідси вибираємо величину А і К.
Треба мати на увазі, що якщо (Х - А). К. де К - рівна величина інтервалу, то отримані нові варіанти утворюють в равноінтервальном ряду ряди натуральних чисел (1, 2, 3 і т. Д.) Позитивних вниз і негативних вгору від нуля. Середню арифметичну з цих нових варіант називають моментом першого порядку і виражають формулою
.
Щоб визначити величину середньої арифметичної, потрібно величину моменту першого порядку помножити на величину того інтервалу (К), на який ділимо всі варіанти, і додати до отриманого добутку величину варіанти (А), яку вичитали.
;
Таким чином, способом моментів або умовного нуля розрахувати середню арифметичну з варіаційного ряду, якщо ряд равноінтервальний, значно легше.
Мода - є величина ознаки (варіанти), найбільш часто повторюється в досліджуваній сукупності.
Для дискретних рядів розподілу модою буде значення варіанти з найбільшою частотою.
Приклад. При визначенні плану по виробництву чоловічих туфель фабрикою було вироблено вивчення купівельного попиту за результатами продажу. Розподіл проданої взуття характеризувалося такими показниками:
Найбільшим попитом користувалася взуття 41 розміру і склала 30% від проданого кількості. У цьому ряду розподілу М0 = 41.
Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами мода визначається за формулою
.
Перш за все, необхідно знайти інтервал, в якому знаходиться мода, т. Е. Модальний інтервал.
У варіаційному ряду з рівними інтервалами модальний інтервал визначається за найбільшою частоті, в рядах з нерівними інтервалами - по найбільшої щільності розподілу, де: - величина нижньої межі інтервалу, що містить моду; - частота модального інтервалу; - частота інтервалу, що передує модальному, т. Е. Предмодального; - частота інтервалу, наступного за модальним, т. Е. Послемодального.
Приклад розрахунку моди в інтервальному ряду
Групи підпри-я-тий по чис-лу працюючих, чол.
Дана угруповання підприємств за чисельністю промислово-про-з-вод-ного персоналу. Знайти моду. У нашій задачі найбільше число підприємств (30) має угруповання з чисельністю працюючих від 400 до 500 осіб. Отже, цей інтервал є модальним інтервалом ряду поширення з рівними інтервалами. Введемо наступні позначення:
; ; ; ; .
Підставами ці значення в формулу обчислення моди і зробимо розрахунок:
Таким чином, ми визначили значення модальної величини ознаки, укладеного в цьому інтервалі (400-500), т. Е. М0 = 467 чол.
У багатьох випадках при характеристиці сукупності в якості узагальнюючого показника віддається перевага моді. а не середньої арифметичної. Так, при вивченні цін на ринку фіксується і вивчається в динаміці не середня ціна на певну продукцію, а модальна. При вивченні попиту населення на певний розмір взуття чи одягу становить інтерес визначення модального номера, а не середній розмір, який взагалі не має значення. Якщо середня арифметична близька за значенням до моди, значить вона типова.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ ВИРІШЕННЯ
На сортосеменной станції при визначенні якості насіння пшениці було отримано наступне визначення насіння по відсотку схожості:
При реєстрації цін в години найбільш жвавої торгівлі в окремих продавців були зареєстровані наступні ціни фактичного продажу (дол. За кг):
Картопля: 0,2; 0,12; 0,12; 0,15; 0,2; 0,2; 0,2; 0,15; 0,15; 0,15; 0,15; 0,12; 0,12; 0,12; 0,15.
Яловичина: 2; 2,5; 2; 2; 1,8; 1,8; 2; 2,2; 2,5; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2,2; 2; 2; 2; 2.
Які ціни на картоплю і яловичину є модальними?
Є дані про заробітну плату 16 слюсарів цеху. Знайти модальну величину заробітної плати.
У доларах: 118; 120; 124; 126; 130; 130; 130; 130; 132; 135; 138; 140; 140; 140; 142; 142.
Медианой в статистиці називається варіанта, розташована в середині варіаційного ряду. Якщо дискретний ряд розподілу має непарне число членів ряду, то медіаною буде варіанти, що знаходиться в середині рангового ряду, т. Е. До суми частот додати 1 і все розділити на 2 - результат і дасть порядковий номер медіани.
Якщо в варіаційному ряду парне число варіант, тоді медіаною буде половина суми двох серединних варіант.
Для знаходження медіани в інтервальному варіаційному ряду визначаємо спочатку медіанний інтервал по нагромадженим частотах. Таким інтервалом буде такою, кумулятивна (накопичена) частота якого дорівнює або перевищує половину суми частот. Накопичені частоти утворюються шляхом поступового підсумовування частот, починаючи від інтервалу з найменшим значенням ознаки.
Розрахунок медіани в інтервальному варіаційному ряду
Кумулятивні (накопичені) частоти
Половина суми накопичених частот в прикладі дорівнює 250 (500. 2). Отже, медіанного інтервалом буде інтервал зі значенням ознаки 100-110.
До цього інтервалу сума накопичених частот склала 150. Отже, щоб отримати значення медіани, необхідно додати ще 100 одиниць (250 - 150). При визначенні значення медіани передбачається, що значення ознаки в межах інтервалу розподіляється рівномірно. Отже, якщо 145 одиниць, що знаходяться в цьому інтервалі, розподілити рівномірно в інтервалі, дорівнює 10, то 100 одиниць буде відповідати величина:
10. 145 '100 = 6,9.
Додавши отриману величину до мінімальної межі медіанного інтервалу, отримаємо шукане значення медіани:
.
Або медіану в вариационном интервальном ряду можна обчислити за формулою:
,
де - величина нижньої межі медіанного інтервалу (); - величина медіанного інтервалу (= 10); - сума частот ряду (чисельність ряду 500); - сума накопичених частот в інтервалі, що передує медіанного (= 150); - частота медіанного інтервалу (= 145).
Підставами в формулу значення і отримаємо:
.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ ВИРІШЕННЯ
Визначити медіану за такими даними: