5. Оцінка стійкості САР.
Стійкість - це властивість системи повертатися в початковий стан після виведення її з цього стану і припинення дії обурення.
Стійкість є дуже важливою характеристикою якості систем і пристроїв, застосовуваних у самих різних областях техніки.
Умови стійкості формулюються у вигляді різних критеріїв стійкості, кожен з яких застосовують залежно від того, якими вихідними характеристиками і даними розташовують.
Для САР другого порядку - стійкість оцінювати по корінню характеристичного рівняння, 3-ого порядку - за критерієм Вішнеградского, 4-ого порядку за критерієм Гурвіца 5-ого порядку за критерієм Михайлова.
5.1 Стійкість САР (2-ого порядку оцінюється по корінню характеристичного рівняння. Характеристичне рівняння САР утворюється шляхом прирівнювання власного оператора САР нулю, тобто D () = 0
Для системи 2го порядку власний оператор має вигляд:
Вирішуємо характеристичне рівняння
Знаходимо корені =, де D = -4
Якщо дійсні корені або дійсні частини комплексних коренів негативні, то система стійка.
Якщо хоча б один дійсний корінь або дійсна частина одного комплексного кореня дорівнює 0, а інші негативні; то ця система знаходиться на межі стійкості.
5.2 Стійкість САР третього порядку оцінюють за допомогою критерію Вишнеградський.
Порядок застосування Вішнеградского
Власний оператор САР D () = + + прирівнюють нулю:
Останнє рівняння приводять до вигляду:
САР стійка, якщо A> 0, B> 0, A B> 1.
Основною перевагою даного критерію, є можливість встановити вид перехідного процесу для цього на діаграмі Вішнеградского (рисунок 9) наносять точку О з координатами (A; B). Якщо точка потрапляє в область 1 - то перехідні процес має коливальний характер. Якщо точка потрапляє в область 2, то перехідний процес є апериодическим, а в область 3, то перехідний процес є монотонним.
Власний оператор САР D () = + +
Значення коефіцієнтів САР:
Обчислюємо коефіцієнти власного оператора САР:
Обчислюємо коефіцієнти А і В:
Отримаємо рівняння + + = 0;
Так як A = 11,11> 0, B = 2,92> 0 і A B = 16,22> 1, отже САР стійка. Побудуємо на діаграмі Вішнеградского точку О (5,55; 2,92). Вона лежить в області 1, отже перехідний процес має коливальний характер.
5.3 Стійкість САР 4-го порядку оцінюємо за критерієм Рауса-Гурвіца.
Для оцінки стійкості використовується власний оператор САР записаний у вигляді:
Зауважимо, що всі коефіцієнти D (p) повинні бути позитивними.
Згідно з критерієм Гурвіца, щоб динамічна система була стійка, необхідно і достатньо, щоб головний визначник Гурвіца і всі його діагональні мінори були позитивні.
Визначник Гурвіца позначається Δ і будується з коефіцієнтів власного оператора САР за алгоритмом:
1) по головній діагоналі визначника Гурвіца зліва направо виставляються всі коефіцієнти власного оператора САР характеристичного рівняння;
2) від кожного елемента діагоналі вгору і вниз добудовуються стовпці визначника так, щоб індекси убували зверху вниз;
3) на місце коефіцієнтів з індексами менше нуля або більше n ставляться нулі.
Діагональний мінор 1-го порядку формується з першого рядка і першого стовпця, 2-го порядку - з перших двох рядків і перших двох стовпців і т.д.
Складемо головний визначник Гурвіца і всі його діагональні мінори для САР 4-го порядку. В цьому випадку власний оператор САР має вигляд:
Головний визначник Гурвіца:
;
Приклад. Оцінити стійкість замкнутої системи 4-го порядку за критерієм Гурвіца.
Передавальна функція розімкнутої САР в численних коефіцієнтах має вигляд:
Знайдемо передавальну функцію замкненої САР:
Далі визначимо власний оператор САР:
D (s) = A (s) + B (s) = 2s 4 + 3s 3 + s 2 + 2s 3 + 9s 2 + 6s + 1 = 2s 4 + 5s 3 + 10s 2 + 6s + 1.
Оскільки ступінь полінома D (p) n = 4, то матриця головного визначника Гурвіца буде мати розмір 4х4.
Тоді головний визначник Гурвіца при а4 = 1, а3 = 6, а 2 = 10, а 1 = 5, а 0 = 2 набуде вигляду:
Обчислимо діагональні мінори:
Оскільки всі визначники позитивні, то САР стійка.
Не обов'язково вважати все мінори, так як, якщо Δ3 більше нуля. то і всі інші мінори і головний визначник Гурвіца будуть позитивні.
Дійсно, можна уявити головний визначник Гурвіца через мінори.
так як,, то якщо значить, і. З іншого боку, коли, то й. а це значить що. Перший діагональний мінор теж більше нуля.
Розкриємо мінор через коефіцієнти власного оператора САР D (p).
Отримаємо остаточно умова стійкості для САР 4-го порядку набуде вигляду:
Для розглянутої САР маємо.
5.4. Оцінка стійкості САР за критерієм Михайлова
Згідно цього критерію виділяємо характеристичний поліном замкнутої САР:
.
Заміна = i w, призводить до комплексного полиному, званому функцією Михайлова:
де;
При зміні частоти кінець вектора буде описувати деяку криву в комплексній площині, яка називається годографом Михайлова.
При зміні частоти від 0 до ∞ кут повороту вектора навколо початку координат складе:
де m число коренів полінома з позитивною дійсною частиною.
=.
Останнє є необхідною умовою стійкості, але не достатньою. Для того, щоб отримати необхідну і достатню умову стійкості, необхідно виключити коріння, що лежать на уявної осі.
Для того, щоб система автоматичного управління була стійка, необхідно і достатньо, щоб годограф Михайлова при зміні від 0 до ∞ повернувся, не проходячи через нуль, навколо початку координат проти годинникової стрілки на кут, де - порядок характеристичного рівняння.
Для стійких систем годограф Михайлова починається при на речовій піввісь, тобто =; крім того з ростом частоти фази повинна монотонно зростати, тобто вектор повинен повертати тільки проти годинникової стрілки, так як зростають фази елементарних вектор (), що є складовою частиною фази вектора
Годограф Михайлова для стійких систем має плавну спиралевидную форму і йде в нескінченність в тому квадраті, номер якого дорівнює ступеню характеристичного рівняння (рис.14)
У зв'язку з цим критерій стійкості можна сформулювати наступним чином.
З полінома в знаменнику передавальної функції АСР (характеристичного полінома) утворюється функція Михайлова. Для того, щоб система автоматичного управління була стійка, необхідно і достатньо, щоб годограф Михайлова при зміні частоти від 0 до ∞, починаючись при на речовій позитивною півосі, обходив тільки проти годинникової стрілки послідовно n квадрантів координатної площини, де n- порядок характеристичного рівняння.
Малюнок 14 Годограф Михайлова
Ознакою нестійкості системи є порушення числа і послідовності проходження квадрантів.
Приклади годографа Михайлова для нестійких систем представлені на малюнку 15.
Для нейтральних систем годограф Михайлова зображений на малюнку 16. У перших двох випадках невеликі деформації виводять систему на стійкість, в останньому ж система нестійка.
V
Малюнок 17 - Годограф Михайлова
При зміні частоти кінець вектора D (iw) описує деяку криву (малюнку 17) і не проходить проти годинникової стрілки послідовно 5 квадрантів, це означає, що система нестійка.
Заняття №5 Оцінка стійкості сар. Алгебраїчні критерії стійкості
Оцінка стійкості сар
3. Отримання передавальних функцій сар а. Знайти передавальні функції всіх елементів сар
1. Типи фінансової стійкості. Розрахунок основних показнику
65. Заходи підвищення стійкості зв'язку на прольоті РРЛ
М. А. Рєзніков Варіаційний метод в розрахунках стійкості гірських виїмок і споруд Резюме
Студентство і некомерційні організації: до фінансової стійкості через Рrофессіоналізм Некомерційне партнерство «Кришталевий Апельсин»
Дипломних проектах глава система автоматичного регулювання технологічних параметрів (сар)
Діагностика Оцінка ступеня готовності першокласників до шкільного навчання
Публічний звіт директора МОУ «сош п. Дубки Саратовського району»
Незалежна оцінка транспорту вартість. Ярославль. Незалежна оцінка транспортних засобів (за 1 од.)