Часто під одиничним квадратом мається на увазі будь-який квадрат зі стороною 1.
Якщо задана прямокутна система координат. то цей термін часто використовують в більш вузькому сенсі: одиничний квадрат - це безліч точок, обидві координати яких (x і y) лежать між 0 і 1:
У комплексній площині під одиничним квадратом мається на увазі квадрат з вершинами 0. 1. 1 + i і i [1].
Одиничний квадрат є одиницею вимірювання площі фігури. Виміряти площу фігури - значить знайти відношення площі фігури до площі одиничного квадрата, тобто сказати, скільки разів одиничний квадрат може бути покладений в даній фігурі [2]. Є всі підстави припускати, що так визначали площа математики Стародавнього Вавилона [3]. В «Засадах» Евкліда не було одиниці вимірювання довжини, а значить, не було поняття одиничний квадрат. Евклід не вимірюються площі числами, замість цього він розглядав відносини площ один до одного [4].
- Площа одиничного квадрата дорівнює 1, периметр - 4, діагональ - 2 >>.
- Одиничний квадрат є «кругом» діаметра 1 в сенсі рівномірної норми (L ∞>), то є безліч точок, які розташовані на відстані 1/2 в сенсі рівномірної норми від центру з координатами (1/2, 1/2), є одиничним квадратом [5].
- Кантор довів, що існує взаимнооднозначное відповідність між одиничним відрізком і одиничним квадратом. Цей факт настільки суперечить інтуїції, що Кантор в 1877 році писав Дедекіндом. «Я бачу це, але не вірю» [6] [7].
- Ще більш дивний факт був відкритий Пеано в 1890 році: виявляється існує безперервне відображення відрізка на квадрат. Прикладом такого відображення є крива Пеано. перший приклад заповнює простір кривої. Крива Пеано задає безперервне відображення одиничного відрізка на квадрат, так, що для кожної точки квадрата знайдеться відповідна точка відрізка [8].
- Тим не менш, не існує взаємооднозначної безперервного відображення відрізка в квадрат. Крива Пеано містить кратні точки, тобто вона проходить через деякі точки квадрата більше одного разу. Таким чином, крива Пеано НЕ задає взаімноодназначного відповідності. Насправді легко довести, що відрізок НЕ гомеоморфен квадрату, значить, уникнути кратних точок неможливо [9].