С.Е.МУРАВЬЁВ. МІФІ, м.Москва
4. На передній край візки масою M. рухається зі швидкістю 0 по гладкій горизонтальній поверхні, кладуть брусок масою m. Початкова швидкість бруска щодо землі дорівнює нулю. Якою має бути довжина візка, щоб брусок в подальшому не впав з неї? Коефіцієнт тертя між бруском і візком дорівнює.
Брусок і візок рухатимуться наступним чином. Поки швидкість візки більше швидкості бруска (як в початковий момент), на брусок з боку візка буде діяти сила тертя в напрямку її руху, на візок з боку бруска - сила тертя в протилежному напрямку. Тому брусок буде розганятися, візок - гальмуватися. У той момент, коли швидкості тіл зрівняються (якщо брусок до цього моменту не впаде з візка), сила тертя між бруском і візком стане рівною нулю, і тіла будуть рухатися разом з постійною швидкістю. Значить, якщо брусок до моменту зупинки свого руху щодо візки не впаде з неї, то він не впаде і в подальшому. Тому для знаходження мінімальної довжини візки, при якій брусок не впаде з неї, треба знайти переміщення бруска щодо візки до того моменту, коли їх швидкості зрівняються, і зажадати, щоб довжина візка була більше цього переміщення. Це переміщення можна знайти за законами равноускоренного руху, а що входять до них прискорення бруска і візки - за другим законом Ньютона для цих тіл.
На брусок діють: сила тяжіння mg. сила реакції візки N і тертя Fтр. на візок - сила тяжіння Mg. сили реакції з боку статі N1 і бруска N 'і тертя F' тр (модулі двох останніх сил, за третім законом Ньютона, рівні відповідно модулів сил N і Fтр). Сили, що діють на тіла, показані на малюнку. Запис другого закону Ньютона для бруска і візки в проекціях на горизонтальну вісь, направлену уздовж руху візки, має вигляд (AБ і aт - модулі прискорень бруска і візки):
З рівнянь (1) знаходимо прискорення бруска AБ і візки aт.
Оскільки прискорення тел постійні, до моменту зупинки рух тіл є рівноприскореному. Тому для опису руху тіл використовуємо закони рівноприскореного руху. Направимо вісь X системи координат уздовж руху візки, початок координат помістимо в точку, в якій знаходився брусок в той момент часу, коли його кладуть на візок; цей момент часу вважатимемо початковим. Тоді залежності проекцій швидкості бруска і візки на вісь Х і координат бруска і візки від часу визначаються рівняннями (координатою візки вважаємо координату її початку, тобто тієї точки, куди кладуть брусок):
З першої і другої формул (1) знаходимо час t1. через яке брусок припинить переміщатися щодо візки, тобто зрівняються швидкості цих тіл
Підставляючи час t1 (2) в третє і четверте рівняння (1), знаходимо координати бруска і візки до того моменту часу, коли припиняється рух бруска щодо візки
Брусок не впаде з візка, якщо до моменту зупинки його руху щодо візки його переміщення щодо візки нічого очікувати перевищувати її довжину. Оскільки це переміщення дорівнює різниці координат кінцевої точки візка і бруска XТ (t1) - XБ (t1), то умова непаденія бруска з візка є
Підставляючи в формулу (4) координати бруска і візки (3), знайдемо, що брусок не впаде з візка, якщо
Можливе й інше рішення цієї задачі, заснований на законах збереження імпульсу і енергії. Наведемо і це рішення. Згідно із законом збереження імпульсу знайдемо швидкість бруска і візки 1 після зупинки руху бруска щодо візки
Потім, по теоремі про зміну кінетичної енергії для бруска і візки, маємо:
де Aтр.б і Aтр.т - роботи сили тертя над бруском і візком. Оскільки сила тертя, що діє на брусок, спрямована на його руху, її робота позитивна і дорівнює Aтр.б = mgsб. де Sб - переміщення бруска щодо землі до того моменту часу, коли його швидкість дорівнюватиме 1. тобто коли припиниться його рух щодо візки. Для обчислення роботи сили тертя над візком зауважимо, що візок в цьому завданні не можна розглядати як точкове тіло, і точка додатку вання сили тертя переміщається щодо неї. Однак, оскільки прискорення центру мас протяжного тіла визначається сумою діючих на нього зовнішніх сил і не залежить від точки їх застосування, робота сили тертя над візком визначається переміщенням самого візка, а не переміщенням точки прикладання сили тертя. Тому Aтр.т = -mgsт. (Очевидно, що робота сили тертя над візком негативна). Підставляючи роботи сил тертя над бруском Aтр.б і візком Aтр.т в рівняння (7) і складаючи їх, знайдемо
Знаходячи з формул (6), (8) різниця переміщень візки і бруска до моменту зупинки руху бруска щодо візки і вимагаючи, щоб ця різниця не перевищувала довжину візки, отримаємо те ж саме умова (5) для довжини візки, яке було отримано в першому способі рішення.