ЩЕ МАТЕРІАЛИ ПО ТЕМІ:
Векторне числення має ввести ряд операцій з векторами і тензорами, як наприклад додавання, множення, диференціювання, і вивчити ці операції. Ці операції визначаються таким чином, щоб за їх допомогою легко було інтерпретувати ті комбінації векторів, які доводиться вивчати. В результаті як основні елементи векторного числення - вектор і тензор, так і операції над ними виявляються добре пристосованими для вивчення тих фізичних явищ, в яких велику роль грає напрямок величин. З одного боку, це спрощує дослідження, з іншого, веде його більш природним і наочним чином, не вимагаючи введення сторонніх елементів.
Розглянемо, як визначається величина і напрямок вектора.
Вектори. можна уявити як. і. де. - одиничні вектори, звані також ортами, а числа а, b - абсолютні значення векторів. .
Орти, відповідають напрямам осей x, y, z декартової координат, будуть позначатися. . (Рисунок 2). Будь-вектор тоді можна представити у вигляді розкладання. де. . є його проекціями на осі декартової системи координат. Вони також називаються компонентами (складовими) вектора.
Положення будь-якої точки простору P може бути визначено вектором. початковою точкою якого є деяка, певним чином обрана точка O, а кінцем - точка P. Вектор ми будемо називати радіусом-вектором точки P щодо точки Про і будемо позначати зазвичай як. Про точку P, задану радіусом-вектором. ми будемо говорити, для стислості, що дана точка.
Малюнок 2 - Орти декартової системи координат і радіус-вектор
Сума векторів векторів зводиться до складання їх компонент:
ця операція позначається за допомогою звичайного знака алгебраїчного додавання:. Додавання має властивість коммутативности: сума не змінюється від перестановки доданків:.
Геометрично це виглядає, як показано на малюнку 3.
Малюнок 3 - Сума векторів
Скалярний твір необхідно, наприклад, в механіці при обчисленні роботи, виробленої постійною силою при прямолінійній переміщенні і за умови, що сила діє під кутом # 945; до переміщення. Робота в цьому випадку обчислюється як скалярний твір вектора сили і вектора переміщення. Скалярний добуток двох довільних векторів визначається як. тобто твір їх довжин, помножене на кут між ними (рисунок 4). Результатом скалярного твори є скаляр.
Малюнок 4 - Скалярний добуток
Векторний витвір. До необхідності розглядати таку операцію призводять вимоги геометричного і фізичного характеру.
Векторним твором векторів і називається вектор, по величині рівний площі паралелограма, побудованого на векторах і. перпендикулярний площині цих векторів і спрямований в таку сторону, щоб обертання від до на найкоротшому шляху навколо отриманого вектора відбувалося в ту ж сторону, як обертання осі x до осі y навколо осі z (малюнок 5).
Малюнок 5 - Векторне твір
Векторний добуток обчислюється як
тоді компоненти векторного твори виходять з розкриття визначника:
Зміна порядку співмножників призводить до зміни знака векторного твори:.
Розмірність векторного твори - одиниці виміру площі, тобто квадратні метри.
Крім описаних операцій додавання, скалярного і векторного добутків, ми будемо використовувати векторні диференціальні оператори. Їх визначення дається пізніше, безпосередньо перед використанням.