Визначення 16: Скалярним твором двох векторів називається число. дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
Теорема 5 Два вектора перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Доведемо цю теорему.
Нехай. тоді кут між ними. Обчислимо і підставимо його в формулу для обчислення скалярного добутку векторів, отримаємо:
Таким чином ми довели, що якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Доведемо зворотне твердження: якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні:
Дано:. Оскільки вектори відмінні від нульового вектора, то. За умовою . що й потрібно було довести.
Властивості скалярного твори:
1. (переместітельний закон)
2. (сполучний закон)
3. (розподільний закон)
4. (формула скалярного квадрата)
Теорема 6 Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх відповідних координат:
Як отримана дана формула?
Завдання: 1) Доведіть, що вектори перпендикулярні.
Рішення: За умовою відомі координати векторів: По теоремі 6 знайдемо їх скалярний твір, отримаємо:.
2) Знайдіть кут між векторами
Рішення: Використовуємо формулу з слідства теореми 6:
Визначення 17: Векторним твором двох векторів і називається вектор. задовольняє таким умовам:
1. довжина вектора дорівнює добутку довжин векторів і на синус кута між ними:
3. вектори. і утворюють праву трійку векторів.
Позначення векторного твори: або.
З визначення випливає:
1. довжина векторного твори дорівнює площі паралелограма, побудованого на приведених до загального початку векторах і:
2. якщо вектори і колінеарні, то їх векторний добуток дорівнює нулю. Вірно і зворотне.
Властивості векторного твори:
Теорема 7 Якщо задані координати векторів, то
Існує також мішаний добуток векторів: змішаним твором векторів називається число, яке визначається за формулою:
Питання для контролю знань:
1. Дайте визначення вектора.
2. Який вектор називають нульовим? одиничним?
3. Дайте визначення рівних векторів.
4. Що називається довжиною вектора?
5. Вектори і мають однакову довжину. Чи вірно, що ці вектори рівні?
6. Відрізки AB і CD належать паралельним прямим. Чи рівні вектори і?
7. Які фізичні величини є векторними: а) температура; б) швидкість; в) вага; г) щільність речовини; д) прискорення; е) площу; ж) сила?
8. Які вектори називають колінеарними?
9. Чи вірно, що нульовий вектор коллінеарен будь-якому вектору на площині?
10. Відомо, що. Чи можна сказати, що вектори і колінеарні?
11. Які лінійні операції можна проводити над векторами?
12. Дайте визначення суми двох векторів.
13. Дайте визначення різниці двох векторів.
14. Сума двох векторів дорівнює нульовому вектору. Як називаються ці вектори?
15. Сформулюйте поняття лінійної комбінації векторів.
16. Яке умова лінійної залежності векторів?
17. Яке умова лінійної незалежності векторів?
18. Що називають базисом на площині?
19. Сформулюйте поняття координат вектора.
20. Сформулюйте правила додавання, віднімання, множення на число векторів в координатної формі.
21. Відомо, що. Що Ви можете сказати про вектори і?
22. Дайте поняття радіус-вектора.
23. Сформулюйте правило знаходження координат вектора.
24. Чому дорівнює довжина вектора?
25. Що називають скалярним твором векторів?
26. Сформулюйте умову перпендикулярності двох векторів.
27. Два вектора задані своїми координатами. Як знайти кут між цими векторами?
28. Чи правда, що з слід: 1) і колінеарні; 2); 3) і сонаправлени; 4) і протилежно спрямовані; 5); 6) і; 7) і?
29. Чи випливає з рівності = рівність =?
30. Яке взаємне розташування точок А, В і М, якщо вектори і і колінеарні?
31. Якому умові повинні задовольняти вектори і. щоб вектор + ділив навпіл кут між векторами і?
32. Як слід направити вектори і. довжини яких відомі, щоб довжина вектора була: 1) найбільшою; 2) найменшою?
33. Чи вірно, що для будь-яких вектор і справедливі нерівності
34. Яким умовам повинні задовольняти вектори і. щоб мали місце співвідношення:
35. колінеарну вектори і. якщо колінеарні вектори і?
36. При яких значеннях k довжина вектора. 1) дорівнює довжині вектора; 2) більше довжини вектора; 3) менше довжини вектора; 4) дорівнює нулю?
37. Як розташовані точки М, А і В, якщо:
38. Чи може кут між векторами дорівнювати: 270 °; 180 °; 0 °; 45 °?
39. У якому проміжку знаходиться кут між векторами і. якщо: 1); 2) 1)?
40. Яка довжина відрізка АВ, якщо?
41. Як розташовані прямі АВ і АС, якщо;
42. Чи випливає з рівності. де - одиничний вектор, рівність векторів і?
43. Чи рівні вектори і площині, якщо рівність виконується: для будь-яких векторів; 2) для двох перпендикулярних векторів?
44. Який кут утворює вектор з вектором 1); 2)?
45. Чи може вектор простору складати з віссю х кут в 30 °, а з віссю z кут в 45 °?
46. Яка з точок А (2; -5), В (3; 2), С (-4; 1), D (-1; -2) розташована: 1) найдалі від осі х; 2) ближче всіх від осі у; 3) у другій чверті; 4) в четвертій чверті?
47. При яких значеннях а точки А (3; 2) і В (а; -1) розташовані: 1) на одній прямій, паралельної осі у; 2) на однаковій відстані від осі у?
48. При яких значеннях m вектор (2; m) дорівнює вектору (2; 1 / m)?
49. При якому значенні k вектор (k; 0) коллінеарен вектору (0; k)
50. Перпендикулярні вектори і?
51. Лежать чи на одній прямій точки (3; -7), (-5; 4), (27; -40)?
52. Рівнобіжні чи прямі, що проходять відповідно через точки (1; -1), (2; 1) і (3; 5), (-1; -3)?
Вправи для рішення-
1. Вершинами паралелограма служать точки A, B, C, D. Потрібно: 1) визначити ненульові вектори з кінцями в цих точках; 2) знайти всі пари колінеарних векторів; 3) знайти всі пари неколінеарних векторів.
2. Розкладіть вектор по ортам і знайдіть його довжину, якщо A (1; 3), B (4; 2). Які координати вектора?
3. Дано вектори. Знайдіть: 1); 2); 3); 4); 5).
4. У прямокутній системі координат покажіть вектори і знайдіть їх довжину. Обчисліть кут між цими векторами.
5. Дано чотири точки: A (-3; -1), B (-1; 3), C (5; 0) і D (3; -4). Чи є вектори і рівними? Відповідь поясніть.
6. Побудуйте вектори і. якщо A (2; 3), B (-4; -1). Доведіть, що дані вектори НЕ колінеарні.
7. Знайдіть кут між векторами і. якщо одиничні вектори і кут між ними дорівнює 120 0.
8. Побудуєте в прямокутній системі координат трикутник ABC з вершинами А (1; 4), В (-5; 0), С (2; -1) і обчисліть довжину медіани ВМ. Знайдіть розкладання вектора по векторах і. Розкладіть вектор за базисом.
9. Знайдіть точку на осі Oy, рівновіддаленість від точок А (6; 12) і В (-8; 10).
10. Точка С (3; 5) ділить відрізок АВ у відношенні. Знайдіть початок відрізка, якщо В (-1; 1).
11. Знайдіть точку М, рівновіддаленість від осей координат і від точки А (-4; 2).
12. Знайдіть точку М, відстань якої від осі абсцис і від точки А (-2; 4) дорівнює 10.
13. Доведіть, що точки А, В, С, D - вершини паралелограма, якщо відомо, що вони не лежать на одній прямій і ненульові вектори і рівні.
14. Дан паралелограм АВСD. Точки М лежать на стороні CD. Знайдіть суму векторов6
1); 2); 3); 4).
15. Вантаж спускається на парашуті зі швидкістю. Вітром його відносить в сторону зі швидкістю. Під яким кутом до вертикалі буде спускатися вантаж, якщо
16. Нехай О - точка перетину діагоналей паралелограма ABCD. Знайдіть х, якщо:
17. Доведіть, що довжини векторів та є рівними, якщо вектори і - перпендикулярні.
18. Дан правильний трикутник ABC з стороною 2. Точки M і N - середини сторін AB і BC. Знайдіть скалярні твори векторів:
19. Знайдіть координати проекцій точки А на координатні осі, якщо А (2; -1).
20. Дан вектор (-1; -2). Знайдіть координати точки В, якщо відомі координати точки А:
21. колінеарну вектори:
1) (1; 2) і (-2; -4); 2) (1; -1; 2) і (2; 2; -4);
3). якщо А (8; -2), В (3; 4), С (11; 7), D (-21; 19)?
22. Обчисліть скалярний добуток векторів:
1) (-2; 3) і (3, 4); 2) (; 1) і (2);
3) і. де A (-2; 4); B (3; -6), C (5; -3);
23. Перпендикулярні вектори:
1) (-2; 3) і (-1; 2); 2) (4; -1) і (3; 12);
24. Знайдіть довжину вектора:
3). де A (1; 3), а B (-2; 0);
25. Знайдіть кут між векторами:
1) (1; 1) і; 2) (1; 1) і;
26. Знайдіть периметр трикутника ABC і величини його кутів, якщо: А (6; 7), В (3; 3), С (1; -5).
27. Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо: 1) А (-4; 3), В (-2; 5); 2) А (-4; 3), В (-2; 5).
28. Дан відрізка з кінцями А (1; -3) і В (31; 17). Визначте координати точок відрізка, що поділяють його: 1) навпіл; 2) на три рівні частини; 3) на шість рівних частин.
29. Знайдіть координати кінців відрізка, що лежать на осях координат, якщо його середина знаходиться в точці:
1) Дано два вектора: і. потрібно:
a) побудувати вектори;
b) обчислити площу паралелограма, побудованого на цих векторах;
c) знайти суму і різницю даних векторів;
d) обчислити довжину кожного вектора;
e) визначити координати вектора, колінеарну вектору і має довжину, в три рази більшу, ніж довжина вектора.
2) Дан трикутник АВС: А (-5; 3), В (1; 4), С (3; -1). У трикутнику побудована медіана АК. потрібно:
a) знайти розкладання вектора по векторах і;
b) розкласти вектор за базисом.
1) Дано два вектора. М (-2; 3), N (2; 1), К (-1; 2), Р (4; -2). потрібно:
a) побудувати вектори;
b) знайти суму і різницю даних векторів;
c) знайти довжину кожного вектора;
d) визначити координати вектора, перпендикулярного вектору і проходить через точку (1; 4);
e) знайти скалярний добуток векторів.
2) Дан трикутник АВС: А (-5; 3), В (1; 4), С (3; -1). У трикутнику побудована висота AD. потрібно:
a) знайти розкладання вектора по векторах і;
b) розкласти вектор за базисом.