Оптимальні лінійні фільтри широко застосовуються при виявленні і розрізненні детермінованих сигналів, причому критерієм оптимальності характеристик таких фільтрів є отримання на виході фільтра максимально можливого відносини пікового значення сигналу до середньоквадратичного значенням перешкоди. Мета обробки при цьому полягає не у відтворенні форми сигналу, яка вважається відомою, а в найбільш надійної фіксації лише факту наявності або відсутності сигналу в прийнятому коливанні.
Знайдемо вираз для комплексної частотної характеристики оптимального фільтра [5]. Нехай на вхід лінійного фільтру з комплексної частотної характеристикою K (j w) впливає сума повністю відомого сигналу s (t) і перешкоди n (t), що представляє собою стаціонарний в широкому сенсі випадковий процес з відомої спектральної щільністю Sn (w) [4]:
Позначимо корисний сигнал і перешкоду на виході фільтра через sв (t) і n в (t). Відомо, що якщо на вхід лінійної системи з комплексної частотної характеристикою K (j w) впливає сигнал s (t), що має комплексний амплітудний спектр
то комплексний спектр сигналу на виході системи визначається твором Ф (j w) K (j w), а сам вихідний сигнал - виразом
Спектральна щільність перешкоди на виході фільтра визначається виразом Sn () | K (j) | 2. а її дисперсія
На підставі формул (1.1) і (1.2) отримуємо вираз для відношення сигнал / перешкода по потужності на виході фільтра в деякий момент часу t0:
Необхідно знайти таку функцію K (j), при якій вираз (1.3) в певний момент часу t0 досягає максимуму. Одним із шляхів вирішення цього завдання є використання нерівності Шварца-Буняковського. Відомо, що для двох довільних комплексних функцій f (x) і g (x) виконується співвідношення
причому знак рівності має місце тільки в разі, коли g (x) = c0f (x), де c0- постійна; f * (x) - функція, комплексно-сполучена f (x).
Запишемо вираз (1.4), перейшовши до змінної. у вигляді
Звідси випливає, що максимально можливе значення відносини сигнал / перешкода
Згідно співвідношенню (1.5), це значення досягається лише при виконанні умови
де c - деяка постійна; t0 - момент часу, відповідний максимального значення відносини сигнал / перешкода на виході фільтра. Таким чином, комплексна частотна характеристика оптимального лінійного фільтра визначається формулою (1.8), а найбільше відношення сигнал перешкода - виразом (1.7). Варіюючи спектри сигналу Ф (j) і перешкоди Sn () у формулі (1.7), можна при деяких додаткових умовах (наприклад, сталість енергії або потужності сигналу та ін.), Що накладаються на систему, визначити найбільш правильну форму спектра сигналу (при якій максимізується Q ) і найгіршу спектральну щільність перешкоди (при якій Q мінімізується).
У деяких пристроях, наприклад службовців для визначення моменту появи імпульсу, застосовуються фільтри, які повинні забезпечувати отримання максимально можливого відносини крутизни сигналу до середньоквадратичного значенням перешкоди. Такі фільтри можна назвати оптимальними по крутизні сигналу. Для визначення комплексної частотної характеристики такого фільтра замість самого сигналу s (t) треба розглядати його похідну за часом. При цьому комплексна частотна характеристика фільтра, оптимального за крутизні сигналу, визначається виразом
де Ф1 * (j w) - комплексно-поєднане значення спектра похідною вхідного сигналу; с1 - деяка постійна. Максимально можливе ставлення крутизни сигналу до середньоквадратичного значенням перешкоди буде
Використовуючи відоме співвідношення для перетворення Фур'є похідною сигналу:
До сих пір на перешкоду n (t) не накладає ніяких обмежень, окрім стаціонарності в широкому сенсі. Розглянемо тепер перешкоду у вигляді гауссовского білого шуму. Лінійний фільтр, на виході якого виходить максимально можливе пікове значення відносини сигнал / перешкода при прийомі повністю відомого сигналу на тлі гауссовского білого шуму, називається узгодженим фільтром. Знайдемо вираз для комплексної частотної характеристики узгодженого фільтра. Для цього покладемо Тоді вирази (1.7) і (1.8) приймуть відповідно вид:
де k - постійна, що характеризує коефіцієнт передачі фільтра; Es - енергія сигналу:
Запишемо спектр вхідного сигналу і комплексну частотну характеристику фільтра у вигляді
Тут js (w) - фазовий спектр сигналу, j (w) - фазо-частотна характеристика фільтра.
Тоді вирази для амплітудно-частотної і фазочастотной характеристик узгодженого фільтра матимуть вигляд
Видно, що амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) узгодженого фільтра пропорційна амплітудному спектру вхідного сигналу (АЧХ фільтра «узгоджена» зі спектром сигналу), а фазочастотная характеристика (ФЧХ) дорівнює сумі фазочастотного спектра сигналу, взятого зі зворотним знаком, і фазового спектра затримки ( - wt0).
Збіг форми АЧХ фільтра з амплітудним спектром сигналу забезпечує найкраще виділення найбільш інтенсивних ділянок спектра сигналу. Фільтр послаблює ділянки спектра з відносно низьким рівнем спектральних складових; в іншому випадку поряд з ними проходили б інтенсивні шуми. При цьому форма сигналу на виході фільтра спотворюється. Однак це не має істотного значення, так як завдання фільтра в даному випадку полягає не в точному відтворенні вхідного сигналу, а в формуванні найбільшого піку вихідного сигналу на тлі шуму. Істотну роль в цьому відношенні грає фазочастотная характеристика фільтра j (w).
Підставивши в формулу (1.1) вираз (1.9), отримаємо вираз для корисного сигналу на виході узгодженого фільтра:
Звідси видно, що сигнал на виході фільтра визначається тільки амплітудним спектром вхідного сигналу і не залежить від його фазового спектра. Останнє обумовлено тим, що взаємні фазові зрушення спектральних складових вхідного сигналу js (w) компенсуються ФЧХ фільтра. Тому все гармонійні складові одночасно досягають амплітудних значень в момент часу t = t0 і, складаючись, дають пік вихідного сигналу:
Якби ФЧХ фільтра не компенсувала фазових зрушень спектральних складових вхідного сигналу, то максимуми гармонійних складових не збігалися б за часом, що привело б до зменшення або роздроблення піку вихідного сигналу.
Слід зазначити, що узгодженим фільтром (1.9) можна користуватися і при прийомі повністю відомого сигналу на тлі стаціонарної перешкоди з довільної спектральної щільністю Sn (w). Для цього формально досить пропустити прийняте коливання x (t) через додатковий лінійний фільтр, який перетворює перешкоду n (t) в білий шум. ФЧХ фільтра може бути будь-який, а АЧХ такого додаткового "відбілювати" фільтра повинна мати вигляд
На виході відбілювати фільтра перешкода перетвориться в білий шум з постійною спектральною щільністю а комплексний спектр сигналу буде
Після цього можна скористатися отриманими раніше формулами. Відповідно до виразом (1.9) комплексна частотна характеристика відповідного узгодженого фільтра
Оптимальний фільтр являє собою послідовне з'єднання двох фільтрів: відбілювати і узгодженого. Його комплексна частотна характеристика природно збігається з співвідношенням (1.8).
Користуючись допустимої свободою вибору фазової характеристики відбілювати фільтра, можна спробувати вибрати її так, щоб оптимальний фільтр був фізично реалізуємо. Якщо спектральну щільність перешкоди Sn (w) можна апроксимувати раціональної функцією частоти (що на практиці не обмежує спільності), то для отримання фізично реалізованого оптимального лінійного фільтра використовують розкладання Sn (w) на комплексно-зв'язані співмножники. Розглянемо приклад.
Нехай перешкодою є гауссовский шум, який має спектральну щільність Sn (w) = 2aD / (a 2 + w 2), де D - дисперсія шуму. Тоді згідно з формулою (1.10) маємо
Таким чином, отримуємо два рівноцінних варіанти відбілювати фільтрів:
Знайдемо імпульсну характеристику узгодженого фільтра:
З огляду на вираз для вхідного сигналу
Отже, імпульсна характеристика узгодженого фільтра цілком визначається формою сигналу ( «узгоджена» з сигналом). На рис. 1.1 зображений імпульсний сигнал s (t) тривалістю і. що з'явився в момент часу t = 0.
Очевидно, що функція s (t0 + t) з'являється на час t0 раніше, ніж сигнал s (t). Функція ж s (t0-t) є дзеркальним відображенням функції s (t0 + t) щодо осі ординат. Помноживши функцію s (t0-t) на коефіцієнт k. отримуємо імпульсну характеристику узгодженого фільтра.