Як відомо, паралельної проекцією кола є крива, звана еліпсом. Оскільки ортогональна проекція є окремим випадком паралельної, то очевидно, що ортогональної проекцією окружності буде теж еліпс. Так, проектуючи окружність, розташовану в площині S з центром в точці D. ортогонально на площину П ¢. отримаємо еліпс з центром в точці D ¢ відповідно до малюнком 1.3.28.
Розглянемо в окружності два взаємно перпендикулярних діаметра AB і CD. причому АВ проходить по прямій рівня площини S (по прямій h), тобто АВ || П ¢. Отже, А ¢ В ¢ = АВ = d. де d - діаметр окружності. Діаметр CD як перпендикулярний до АВ. є лінією рівня площині S. називається також лінією найбільшого нахилу даної площини до площини проекцій П ¢. Така назва пояснюється тим, що серед різних прямих площині S лінія найбільшого нахилу CD. перпендикулярна до лінії рівня АВ. утворює найбільший кут з площиною проекцій П ¢. Кут j. утворений діаметром окружності CD і діаметром еліпса C ¢ D ¢ як проекцією CD. є лінійним кутом двогранного кута нахилу площини S до площини П ¢. Тоді C ¢ D ¢ = CD · cosj, але CD = АВ = d. отже C ¢ D ¢ = d · cosj.
Як відомо, взаємно перпендикулярні діаметри кола мають властивість спряженості (кожен зв'язаний діаметр ділить навпіл хорди, паралельні іншому діаметру), це властивість при паралельному проектуванні зберігається, отже, діаметри А ¢ В ¢ і C ¢ D ¢ будуть сполученими діаметрами еліпса.
Малюнок 1.3.29 - Ортогональна проекція кола
Але з іншого боку, ці діаметри взаємно перпендикулярні, тому що є проекціями взаємно перпендикулярних діаметрів, один з яких паралельний площині проекцій, тому вони є осями еліпса, причому А ¢ В ¢ - велика вісь, C ¢ D ¢ - мала вісь.
Якщо провести якусь пряму n. перпендикулярну до площини S відповідно до малюнком 1.3.29, то така пряма буде перпендикулярна до будь-якої прямої площині S. зокрема, буде перпендикулярна до діаметра АВ || П ¢. Тому її ортогональна проекція n ¢ на площину П ¢ виявиться прямий, перпендикулярної до проекції А ¢ В ¢ діаметра АВ. Інакше кажучи, проекція прямої, перпендикулярної до площини S. паралельна малої осі еліпса.
Таким чином, велика вісь еліпса, що є ортогональною проекцією кола, площина S якої становить кут j з площиною проекцій, паралельна проекції лінії рівня площини S і дорівнює діаметру кола, а мала вісь паралельна проекції перпендикуляра до площини S і дорівнює d · cosj.
Розглянемо співвідношення осей отриманого еліпса:
Для даних площин S і П ¢ кут j і cosj - величини постійні. Внаслідок цього cosj може служити характеристикою відносини осей еліпса, яке, в свою чергу, характеризує форму еліпса.
Отже, як би не була розташована коло в площині S. на площині проекцій завжди буде виходити еліпс однієї і тієї ж форми. Слід зазначити, що при даному куті j не тільки форма еліпса буде постійною, а й розташування осей також не буде залежати від розмірів і положення кола в площині S.
Якщо кут j збільшувати, то еліпс, маючи постійної велику вісь, ставатиме все вже. У межі, коли кут j стане рівним 90 °, а cosj = 0, тобто площину S перпендикулярна площині П ¢. окружність буде проектуватися в відрізок.
Якщо cosj = 1, то площину S паралельна площині проекцій і еліпс-проекція приймає форму кола.
Розглянемо побудова кола, розташованої в проецирующей площині відповідно до малюнком 1.3.30, а.
Нехай коло з центром в точці О і радіусом R лежить у фронтально проецирующей площині S (S2). Виберемо два взаємно перпендикулярних діаметра окружності АВ і CD. з яких АВ || П2. а CD || П1. Таким чином, діаметр CD збігається з горизонталлю площини S. а АВ - з лінією найбільшого нахилу до площини П1.
Малюнок 1.3.30 --- Окружність в проецирующей площині
Таким чином в даному випадку фронтальною проекцією кола є відрізок прямої довжиною 2R. горизонтальною проекцією - еліпс,
великою віссю якого служить відрізок С1 D1. малої віссю - відрізок А1 В1. Зауважимо, що мала вісь А1 В1 еліпса збігається з проекцією n1 перпендикуляра n до площини S. Проміжні точки еліпса можна побудувати за допомогою двох концентричних кіл, проведених на осях С1 D1 і А1 В1 як на діаметрах.
Аналогічно будують проекції кола, розташованої в горизонтально проецирующей площині Q (Q1), відповідно до малюнком 1.3.30, б.