Комбінаторика - розділ математики, що вивчає кількості комбінацій, підлеглих певним умовам, які можна скласти з елементів заданого кінцевого безлічі.
Найпростіша задача комбінаторики - -подсчітать число підмножин даної множини.
Комбінаціями називають різні групи, складені з яких-небудь об'єктів, елементів.
Розрізняють три види комбінацій: перестановки, розміщення і поєднання.
Перестановками з елементів називають комбінації, що містять всі елементів і відрізняються між собою лише порядком елементів.
Число перестановок з елементів знаходиться за формулою: (2)
- читається «Ен факторіал».
Прийнято вважати, що 0. = 1.
Приклад: Знайти число перестановок з елементів
Р3 = 3! = 1 × 2 × 3 = 6
. . . . .
Розміщеннями з елементів по називають такі комбінації, в кожну з яких входить елементів, взятих з даних елементів, і які відрізняються один від одного або самими елементами, або порядком їх розташування.
Число розміщень з елементів по знаходять за формулою:
Поєднаннями з елементів по називають комбінації, в кожну з яких входить елементів, взятих з даних елементів, і які відрізняються один від одного принаймні одним елементом.
Число сполучень з елементів по знаходять за формулою:
4. Статистичне визначення ймовірності.
На практиці часто класичне визначення ймовірності не застосовується, так як воно передбачає, що число елементарних результатів випробування звичайно, а результат випробування можна представити у вигляді сукупності елементарних, рівно можливих випадків. Тому використовують статистичне визначення ймовірності. Відносна частота події є відношення числа випробувань, в яких подія з'явилося, до загальної кількості фактично вироблених випробувань. де
- загальне число вироблених випробувань,
- число появ події А.
Завдання. У партії з 1000 виробів товарознавець виявив 15 бракованих. Чому дорівнює відносна частота появи шлюбу?
Рішення. Позначимо через - подія поява шлюбу в даній партії. Всього вироблених виробів в партії = 1000, а бракованих - 15.
Згідно з визначенням маємо:
Порівнюючи визначення ймовірності і відносної частоти, зауважимо, що у визначенні ймовірності не потрібно, щоб випробування проводилися в дійсності. А у визначенні відносної частоти передбачається, що випробування були проведені, тобто ймовірність обчислюють до досвіду, а відносну частоту - після досвіду.
Тривалі спостереження показали, що відносні частоти появи со-буття при багаторазово повторюваних дослідах мало відрізняючи-ються один від одного, а послідовність частот. . . має межу. Ця межа називається статистичною ймовірністю події.
Для підтвердження факту наближення відносної частоти до ймовірності проводилися масові досліди кидання монети. При 4040 кидках відносна частота появи герба дорівнювала 0,5069, а при 23000 кидках - 0,5005, тобто практично не відрізнялася від ймовірності. цієї події, яка дорівнює 0,5.
5. Теорема додавання ймовірностей несумісних і спільних подій.
Теорема. Імовірність появи одного з двох несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій. (1)
Слідство. Сума ймовірностей несумісних подій. утворюють повну групу, дорівнює одиниці:.
Визначення. Подія називають залежним від події. якщо поява події змінює ймовірність появи події.
Імовірність події. знайдена за умови, що подія відбулася, називається умовною ймовірністю події і позначається.
Теорема. Імовірність суми двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільного появи:
Для трьох спільних подій маємо:
Події. і можуть бути як залежними, так і незалежними, тоді (для незалежних подій) і (для залежних подій).
6. Теорема множення ймовірностей для залежних