Основні поняття теорії
- імовірність
- імовірнісний простір
- Випадкова величина
- Локальна теорема Муавра - Лапласа
- функція розподілу
- Математичне очікування
- Дисперсія випадкової величини
- незалежність
- умовна ймовірність
- Закон великих чисел
- Центральна гранична теорема
Основні положення теорії ........................... .. ........................ 3
Теорія ймовірностей виникла в середині XVII ст. в зв'язку з завданнями розрахунку шансів виграшу гравців в азартних іграх. Пристрасний гравець в кості француз де Мері, намагаючись розбагатіти, придумував нові правила гри. Він пропонував кидати кістку чотири рази поспіль і тримав парі, що при цьому хоча б один раз випаде шістка (6 очок). Для більшої впевненості у виграші де Мері звернувся до свого знайомого, французькому математику Паскалю, з проханням розрахувати ймовірність виграшу в цій грі. Наведемо міркування Паскаля. Гральний кубик є правильний кубик, на шести гранях якого нанесені цифри 1, 2, 3, 4, 5 і 6 (число очок). При киданні кістки "навмання" випадання будь-якого числа очок є випадковою подією; воно залежить від багатьох невраховуваних впливів: початкові положення і початкові швидкості різних ділянок кістки, рух повітря на її шляху, ті чи інші шорсткості в місці падіння, що виникають при ударі об поверхню пружні сили і т. д. Так як ці дії мають хаотичний характер, то в силу міркувань симетрії немає підстав віддавати перевагу випадання одного числа очок перед іншим (якщо, звичайно, немає неправильностей в самій кістки або якусь виняткову спритності кидає).
Тому при киданні кістки є шість виключають один одного рівно можливих випадків, і ймовірність випадання даного числа очок слід прийняти рівною 1/6 (або100 / 6%). При дворазовому киданні кістки результат першого кидання - випадання певного числа очок - не матиме ніякого впливу на результат другого кидання, отже, всіх рівно можливих випадків буде 6 · 6 = 36. З цих 36 рівно можливих випадків в 11 випадках шістка з'явиться хоча б один раз і в 5 · 5 = 25 випадках шістка чи не випаде ні разу.
Шанси на появу шістки хоча б один раз дорівнюватимуть 11 з 36, іншими словами, ймовірність події А, що складається в тому, що при дворазовому киданні кістки з'явиться хоча б один раз шістка, равна11 / 100. т. е. дорівнює відношенню числа випадків сприяють події А до числа всіх рівно можливих випадків. Імовірність того, що шістка чи не з'явиться жодного разу, т. Е. Ймовірність події, званого протилежним події A, равна25 / 36. При триразовому киданні кістки число всіх рівно можливих випадків буде 36 · 6 = 63, при чотириразовому 63 · 6 = 64. При триразовому киданні кістки число випадків, в яких шістка чи не з'явиться жодного разу, так само 25 · 5 = 53, при чотириразовому 53 · 5 = 54. тому ймовірність події, що складається в тому, що при чотириразовому киданні жодного разу не випаде шістка, дорівнює, а ймовірність протилежної події, т. е. ймовірність появи шістки хоча б один раз, або ймовірність виграшу де Мері, дорівнює.
Таким чином, у де Мері було більше шансів виграти, ніж програти.
Міркування Паскаля і все його обчислення засновані на класичному визначенні поняття ймовірності як відносини числа сприятливих випадків до числа всіх рівно можливих випадків.
Важливо відзначити, що вироблені вище розрахунки і саме поняття ймовірності як числової характеристики випадкової події ставилися до явищ масового характеру. Твердження, що ймовірність випадання шістки при киданні гральної кістки дорівнює 1/6, має наступний об'єктивний сенс: при великій кількості бросаний частка числа випадінь шістки буде в середньому дорівнює 16; так, при 600 киданнях шістка може з'явитися 93, або 98, або 105 і т. д. раз, однак при великому числі серій по 600 бросаний середнє число появ шістки в серії з 600 бросаний буде дуже близька до 100.
Ставлення числа появ події до числа випробувань називається частостей події. Для однорідних масових явищ частости подій поводяться стійко, т. Е. Мало коливаються близько середніх величин, які і приймаються за ймовірності цих подій (статистичне визначення поняття ймовірності).
У XVII-XVIII ст. теорія ймовірностей розвивалася незначно, так як область її застосування, зважаючи на низький рівень природознавства обмежувалася невеликим колом питань (страхування, азартні ігри, демографія). У XIX ст. і до теперішнього часу, в зв'язку з запитами практики, теорія ймовірностей безперервно і швидко розвивається, знаходячи застосування все в більш різноманітних областях науки, техніки, економіки (теорія помилок спостережень, теорія стрілянини, статистика, молекулярна і атомна фізика, хімія, метеорологія, питання планування, статистичний контроль у виробництві і т. д.)
Теорія ймовірностей є розділом математики, що вивчає закономірності випадкових масових подій стійкою частости.
Основне положення теорії
Особливо наочно імовірнісний характер статистичних досліджень проявляється у вибірковому методі, оскільки будь-який висновок зроблений за результатами вибірки оцінюється із заданою вірогідністю.
З розвитком ринку поступово зрощується ймовірність і статистика, особливо наочно це проявляється в управлінні ризиками, товарними запасами, портфелем цінних паперів і т.п. За кордоном теорія ймовірності і математична статистика застосуються дуже широко. У нашій країні поки широко застосовується в управлінні якістю продукції, тому поширення і впровадження в практику методів теорії ймовірності актуальне завдання.
Як вже говорилося, поняття ймовірності події визначається для масових явищ або, точніше, для однорідних масових операцій. Однорідна масова операція складається з багаторазового повторення подібних між собою одиничних операцій, або, як кажуть, випробувань. Кожне окреме випробування полягає в тому, що створюється певний комплекс умов, істотних для даної масової операції. В принципі має бути можливим відтворювати цю сукупність умов необмежену кількість разів.
Приклад 1. При киданні гральної кістки "навмання" істотною умовою є тільки те, що кістку кидають на стіл, а всі інші обставини (початкова швидкість, тиск і температура повітря, забарвлення столу і т. Д.) До уваги не беруться.
Приклад 2. Стрілець багаторазово стріляє в певну мету з даного відстані з положення "стоячи"; кожен окремий постріл є випробуванням в масової операції стрільби в даних умовах. Якщо ж стрілку дозволено при різних пострілах міняти положення ( "стоячи", "лежачи", "з коліна"), то попередні умови істотно змінюються і слід говорити про масову операції стрільби з даного відстані.
Можливі результати одиничної операції, або випробування S, називаються випадковими подіями. Випадкова подія - це така подія, яка може відбутися, а може і не відбутися при випробуванні S. Замість "статися" кажуть також "наступити", "з'явитися", "мати місце".
Так, при киданні гральної кістки випадковими подіями є: випадання даного числа очок, випадання непарного числа очок, випадання числа очок, не більшої трьох, і т. П.
При стрільбі випадковою подією є попадання в ціль (стрілок може як потрапити в ціль, так і промахнутися), протилежним йому випадковою подією є промах. З цього прикладу добре видно, що поняття випадкової події в теорії ймовірностей не слід розуміти в життєвому сенсі: "це чиста випадковість", так як для гарного стрілка попадання в ціль буде швидше правилом, а не випадковістю, що розуміється в повсякденному сенсі.
Нехай при деякому числі n випробувань подія A настав m раз, т. Е. M результатів одиничної операції виявилися "вдалими", в тому сенсі, що цікавить нас A здійснилося, і n-m результатів виявилися "невдалими" - подія A не відбулося.
Ймовірністю події A, або ймовірністю «вдалого» результату одиничної операції, називається середнє значення частости, т. Е. Середнє значення відносини числа «вдалих» результатів до числа всіх проведених одиничних операцій (випробувань).
Само собою зрозуміло, що якщо ймовірність події дорівнює. то при n випробуваннях подія A може наступити і більш ніж m разів, і менш ніж m разів; воно лише в середньому настає m раз, і в більшості серій по n випробувань число появ події A буде близько до m, особливо якщо n - велике число.
Таким чином, ймовірність P (A) є деяке постійне число, укладену між нулем і одиницею:
Іноді її виражають у відсотках: Р (А) • 100% є середній відсоток числа появ події A. Звичайно, слід пам'ятати, що мова йде про деяку масової операції, т. Е. Умови S виробництва випробувань - певні; якщо їх істотно змінити, то може змінитися ймовірність події A: то буде ймовірність події A в інший масової операції, з іншими умовами випробувань. Надалі будемо вважати, не обумовлюючи це кожен раз, що мова йде про певну масової операції; якщо ж умови, при яких здійснюються випробування, змінюються, то це буде спеціально відзначатися.
Дві події A і B називаються рівносильними, якщо при кожному випробуванні вони або обидва наступають, або обидва не наступають.
В цьому випадку пишуть
і не роблять різниці між цими подіями. Ймовірності одно- сильних подію A = B, очевидно, однакові:
Протилежне твердження, звичайно, невірно: з того, що P (A) = P (B), аж ніяк не випливає, що A = B.
Подія, яке обов'язково настає при кожному випробуванні, називається достовірною.
Домовимося позначати його буквою D.
Для достовірного події число його наступів m дорівнює числу випробувань n, тому частость його завжди дорівнює одиниці, тобто. Е. Ймовірність достовірної події слід прийняти рівною одиниці:
Подія, яке свідомо не може відбутися, називається неможливим.
Домовимося позначати його буквою H.
Для неможливого події m = 0, отже, частость його завжди дорівнює нулю, т. Е. Ймовірність неможливого події слід вважати рівною нулю:
Чим більша ймовірність події, тим частіше воно настає, і навпаки, чим менша ймовірність події, тим рідше воно настає. Коли ймовірність події близька до одиниці або дорівнює одиниці, то воно настає майже при всіх випробуваннях. Про таку подію говорять, що воно практично достовірно, т. Е. Що можна напевно розраховувати на його наступ.
Навпаки, коли ймовірність дорівнює нулю або дуже мала, то подія настає вкрай рідко; про таку подію говорять, що воно практично неможливо.
На скільки мала повинна бути ймовірність події, щоб практично можна було вважати його неможливим? Загальної відповіді тут дати не можна, так як все залежить від того, наскільки важливо це подія.
Напрімер.Еслі, наприклад, ймовірність того, що електрична лампочка виявиться зіпсованою, дорівнює 0,01, то з цим можна примиритися. Але якщо 0,01 є ймовірність того, що в банку консервів утворюється сильна отрута ботулін, то з цим примиритися не можна, так як приблизно і одному випадку зі ста відбуватиметься отруєння людей і людські життя опиняться під загрозою.
- Розподіл ймовірностей і т.д.
Події - називається довільне безліч деякого безлічі всіх можливих результатів, можуть бути:
Вірогідним називається подія, яке явно станеться при дотриманні певних умов.
Неможливим називається подія, яке явно не станеться при дотриманні певних умов.
Випадковим називають події, які можуть статися або статися при дотриманні певних умов.
Події називають едінственновозможнимі. якщо настання одного з них ця подія достовірне.
Події називають рівноможливими. якщо жодна з них не є більш можливим, ніж інші.
Події називають несумісними. якщо поява однієї з них виключає можливість появи іншого в тому ж випробуванні.