1. Для визначників 3-го порядку використовують правило трикутників. яке схематично можна зобразити таким чином:
Лінії з'єднують по три елементи, які множаться, а потім твори складаються.
2. Визначник порядку n може бути обчислений розкладанням по будь-якому рядку (стовпцю):
3. Метод ефективного зниження порядку визначника. використовуючи властивості визначника, його перетворять до такого виду, щоб всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника, крім одного, стали нульовими, потім обчислюють визначник розкладанням по цьому рядку (стовпцю).
4. Метод приведення до трикутного або діагонального вигляду з використанням властивостей визначника, коли визначник дорівнює добутку діагональних елементів.
Приклад 1. Обчислити визначник різними спо-собами.
Решеніе.1-й спосіб. Використовуємо правило трикутників:
2-й спосіб. Розкладемо визначник по першому рядку:
3-й спосіб. Занулити елементи першого рядка, т. Е. Використовуємо метод ефективного зниження порядку. Для цього додамо до елементів 3-го стовпця елементи 1-го стовпця. Потім розкладемо визначник по 1-му рядку:
4-й спосіб. Використовуючи властивості визначника, наведемо його до трикутного вигляду:
Приклад 2. Обчислити визначник
Рішення. Використовуємо метод ефективного зниження порядку. Для цього з першого рядка віднімемо, а до другої додамо подвоєну третій рядок. Отриманий визначник розкладемо по на одну:
Далі, на дві колонки визначника # 916; додамо третій стовпець, після чого перетворимо наступним чином: додамо до першого і третього стовпцями другий стовпець, помножений відповідно на -4 і на -6. В результаті отримаємо:
Приклад 3. З'ясувати, при яких умовах визначник не дорівнює нулю.
Рішення. Розкладемо визначник по 3-му рядку:
Приклад 4. Довести рівність
Рішення. Для доказу використовуємо метод математичної індукції. Перевіримо справедливість твердження при n = 1 і 2.
Нехай рівність виконується при n = k. де k> 2, т. е. Доведемо істинність при n = k + 1.
Затвердження доведено методом математичної індукції.
Приклад 5. Обчислити визначник:
Рішення. 1) Перейдемо до алгебраїчної формі записи всіх елементів заданої матриці: Тоді
2) Обчислимо визначник розкладанням по третьому стовпці: