Ми розглянемо питання прийняття рішень за допомогою деяких поширених на практиці процедур голосування, а також деякі виникають при цьому проблеми.
Голосування містить наступні елементи:
1) формується набір кандидатів (кандидатів на виборну посаду, технічних проектів, творів мистецтва, альтернативних законопроектів і т.п.) щодо яких має бути прийнято рішення;
2) кожен з учасників голосування (виборців) виробляє свою думку про цих кандидатів і відображає його у виборчому бюлетені відповідно до інструкції;
3) відповідно до деякої формальною процедурою за цією інформацією, що надійшла від виборців, визначається колективне рішення.
Різні процедури голосування розрізняються тим, який зміст вкладається в кожен з цих трьох пунктів.
При становленні демократії елементи грамотності в теорії голосуванні, мабуть, потрібні всім свідомим членам суспільства.
Будемо припускати, що кінцеве число виборців мають обрати одного кандидата з кінцевої безлічі кандидатів.
Припустимо, що індивідуальні думки виборців не допускають випадків байдужості.
Правило голосування являє собою систематичне рішення, що спирається на індивідуальні думки виборців.
Правило голосування вибирає кандидата на основі повідомлених виборцями переваг щодо кандидатів і тільки на основі цих переваг.
Уподобання виборців будемо представляти в івде таблиці:
Порядок кандидатів у стовпці певної групи відповідає рейтингу у відповідній групі виборців. Наприклад, в першій виборчої групі кандидат краще кандидата. а кандидат. в свою чергу, краще кандидата. Це можна записати так: У другій виборчій групі порядок можна записати так:
Таку таблицю також називають «профілем голосування».
Якщо кандидата два, то звичайне правило голосування більшістю голосів є найбільш справедливим.
Розглянемо голосування з трьома і більше кандидатами. Яке правило голосування є природним продовженням голосування за принципом більшості?
Найбільш популярним правилом голосування при числі кандидатів більшому двох є правило відносної більшості.
Правило відносного большінства.Каждий виборець віддає свій голос найбільш кращого для себе кандидата # 8209; залишає одне ім'я в бюлетені, інші викреслює. Обирається кандидат, який отримав найбільшу кількість голосів.
Приклад 1. Чотири кандидати вибираються в чотирьох виборчих групах, де кількість виборців 3, 5, 7 і 6 відповідно:
За правилом відносної більшості набирає 9 голосів, набирає 7 голосів, набирає 8 голосів, набирає 4 голоси, отже, переможцем є теж кандидат.
Проаналізуємо і тут ситуацію з переможцем. 17 виборців з 28 вважають, що. 19 виборців вважають, що і ще 17 виборців вважають, що. Крім того, 17 виборців з 28 поставили кандидата на останнє місце, тобто абсолютна більшість вважає, що кандидат # 8209; найгірший.
Що ми бачимо? Формально правило відносної більшості враховує волю більшості. Однак, це правило може суперечити думці більшості, тобто приводити до обрання кандидата, який при парному порівнянні програє будь-якому іншому кандидату.
Зауважимо, що з даного правилу проходили вибори першого президента в Росії.
Правило відносної більшості з вибуванням. У першому турі кожен виборець віддає свій голос найбільш кращого для себе кандидата (залишає одне ім'я в бюлетені, інших викреслює). Якщо кандидат набирає суворе більшість голосів, то він обирається. В іншому випадку в другому турі проводиться голосування за правилом більшості з двома кандидатами, які набрали найбільшу кількість голосів у першому турі.
Розглянемо результати виборів при даній обробці думки виборців, наведених в прикладі 1.
У першому турі кандидат набирає 8 голосів, набирає 7 голосів, набирає 6 голосів, набирає 0 голосів. Максимальна кількість голосів у кандидата. але ця кількість не є строгим більшістю (8<11) следовательно проводится второй тур. Во втором туре сравниваются кандидаты и . 13 избирателей против 8 считают, что . следовательно, победителем является кандидат .
Начебто все правильно і повністю відповідає процедурі. А що з кандидатами і. які вибули на першому турі? 14 проти 7 вважають, що. і рівно стільки ж виборців вважають, що. Виходить, що обидва кандидати, які вибули в першому турі, були в два рази краще переможця!
Розглянемо тепер результати виборів в прикладі 2 по процедурі відносної більшості з вибуванням.
У першому турі кандидат набирає 9 голосів, набирає 7 голосів, набирає 8 голосів, набирає 4 голоси. Максимальна кількість голосів у кандидата. але ця кількість не є строгим більшістю (9<15) следовательно проводится второй тур. Во втором туре сравниваются кандидаты и . 19 избирателей против 9 считают, что . следовательно, победителем является кандидат .
Тут теж все законно. Але в першому турі вибули кандидати і і при цьому 16 виборців з 28 вважають, що. і 20 виборців з 29 вважають, що. Виходить, що і цей переможець далеко не кращий.
Дана система широко використовувалася на виборах на Україні.
Видно, що партії, які не користуються підтримкою більшості виборців, але висунули єдиного кандидата, можуть здобути перемогу на виборах за правилом відносної більшості, якщо партії користуються підтримкою більшості виборців не змогли домовитися і висунути єдиного кандидата (або якщо в числі їхніх кандидатів перебував троянський кінь) .
У той же час правило відносної більшості з вибуванням може зіграти об'єднавчу роль і привести до перемоги представника близьких за поглядами партій, які не змогли домовиться про висунення єдиного кандидата (в даному випадку кандидата c).
Голосування з послідовним ісключеніем.Сначала встановлюється порядок порівняння кандидатів, потім за правилом більшості кандидати послідовно порівнюються попарно. Якщо кандидатів. то маємо турів голосування. У першому турі порівнюються два перших кандидата з ланцюжка порівняння, переможець першого туру в другому турі сравнівется з третім кандидатом в ланцюжку і так далі. Переможець () -го туру є переможцем по даній процедурі. Це правило має ще одну назву - «олімпійська система»
Визначимо переможця голосування по даній схемі для прикладу 2.
Нехай порядок порівняння буде такою:. У першому турі
На першому турі 17 з 28 виборців вважають і, отже, кандидат виходить у другий тур. У другому турі 16 з 28 виборців вважають, що. значить, виходить до третього туру. В останньому турі 15 з 28 виборців вважають, що і, отже, обраним за цією системою голосування виявляється кандидат.
Таким чином, при одному і тому ж думці виборців про кандидатів за допомогою різних систем голосування можуть бути обрані різні кандіати.
З прикладів видно, що інтерес до процедур голосування як до способу прийняття колективного рішення є актуальним.
В античні часи, в основному, обговорювалися філософські, світоглядні питання, пов'язані з голосуванням.
У Паризької Академії Наук почалася активна дискусія з питань організації демократичних виборів, включаючи обрання нових членів Академії. Саме два академіка Паризької АН того часу по праву вважаються основоположниками теорії голосування.
Жан Шарль де Борда (4.5.1733 # 8209; 19.2.1799) # 8209; фізик, геодезист і математик, член Паризької АН. Народився в Даксі (департамент Ланда). Служив офіцером спочатку в армії, а потім у флоті. Математичні роботи Борда відносяться до диференціальних рівнянь і опору рідин. Перша робота з математики з'явилася в 20 років. Його роботи з опору рідин клали основу теорії повітроплавання. Борда входив до Комісії Лапласа по встановленню однакової системи мір і ваг. У Франції існує товариство імені Борда і в пам'ять про нього на його батьківщині встановлено пам'ятник.
Правило Борда.Каждий виборець повідомляє свої переваги, впорядковуючи кандидатів від кращого до гіршого (байдужність заборонено-ється). Кандидат не одержує балів за останнє місце, отримує один бал від кожного кандидата за передостаннє і так далі, отримує балів за перше місце. Перемагає кандидат із найбільшою сумою балів.
Незважаючи на те, що в Паризьку АН входили такі вчені, як Монж, Фур'є, Лавуазьє, Лапласа, Даламбер, Кондорсе, Лагранж і ін. Доповідь Борда не притягнув увагу кого - або з учених (крім Кондорсе) і питання про процедуру проведення виборів в АН не виникають на протязі 14 років.
Процедура Кондорсе.Для заданої таблиці результатів голосування (таблиці переваг) переможцем по Кондорсе називається кандидат, який перемагає будь-якого іншого кандидата при парному порівнянні за правилом більшості.
Якщо парні порівняння утворюють цикл, то переможця по Кондорсе немає, і ми так званий парадоксом Кондорсе. Політологи вважали його рідкісним явищем. Однак, результати математичних досліджень, наведені в наступній таблиці, показують, що це не так.
Роботи Борда і Кондорсе вплинули на розроблялася в той час Конституцію США.
Визначимо переможця по Борда для результатів переваг, що містяться в прикладі 2. У виборах бере участь m = 4 кандидати. Кандидат не одержує балів за 4-е місце, за 3-е місце отримує 1 бал, за 2-е місце - 2 бали, за 1-е місце - 3 бали. Отже, кандидат отримує бал, кандидат отримує балів, кандидат отримує балів, кандидат отримує балів.
Таким чином, переможцем по Борда є кандидат.
Переможцем по Кондерсе є кандидат. який перемагає кандидата з рахунком 17: 11, кандидата з рахунком 16:12, кандидата з рахунком 15:13.
У XIX столітті йшов процес емпіричного пошуку нових процедур голосування, які не привели до появи "абсолютно прийнятною" процедури голосування. В кінці XIX століття завдяки роботам італійського математика В. Парето була зрозуміла природність виникнення многокритериальной ситуації при оцінці якості процедур голосування.
Розглянемо деякі з цих нових процедур голосування та аксіом.
Природним узагальненням процедури Борда є
Правило голосування з підрахунком очок. При кандидатах фіксуємо неубутних послідовність чисел
Виборці впорядковують кандидатів, прічемочков дається за останнє місце, # 8209; за передостаннє і т.д. Обирається кандидат з максимальною сумою очок.
Дана процедура досить широко використовується на практиці. Покажемо, що результати голосування істотно залежать від вибору чисел. Так, за результатами переваг в прикладі 2 по процедурі Борда (тобто при перемагає кандидат; при перемагає кандидат; при перемагає кандидат.
Якщо то дана процедура збігається з процедурою голосування відносної більшості.
Наведемо два найбільш природні узагальнення процедури Кондорсе.
Правило Копленда. Порівняємо кандидата з будь-яким іншим кандидатом. Нарахуємо йому. якщо для більшості. . якщо для більшості. за однакової кількості в оцінці кандидатів. Оцінкою Копленда для кaндідата назвемо суму. Обирається кандидат з найвищою оцінкою Копленда.
Правило Сімпсона. Розглянемо кандидата і будь-якого іншого кандидата. Позначимо через число виборців, для яких. Оцінкою Сімпсона для кaндідата назвемо мінімальне з чисел. тобто . Обирається кандидат, з найвищою оцінкою Сімпсона.
Переможець за Кондорсе отримує найвищу оцінку Копленда. а також оцінку Сімпсона вище n / 2.
З середини XX століття виник новий сплеск інтересу до проблем голосування.
У 1973 році Фішберн поставив крапку у вирішенні питання про відмінність процедури Борда і процедури Кондорсе.
Теорема Фішберна.Существуют профілі голосування такі, що переможець по Кондорсе не може бути обраний ні при якому методі підрахунку очок.
Доведення. Розглянемо профіль голосування в чотирьох групах: